| Autor |
Beitrag |
    
Marten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 12:49: | 
|
hey Leute, ich brauche eure Hilfe, da ich nicht weiß, ob ich es richtig verstanden habe.
wegen fehlendem Formeleditor ist die Aufgabe etwas anders geschrieben.
f(x)= ax^2+ x^-2+ b^-1 x^-1+ c^-1
x^2+ bx+ c steht also unter dem Bruch.
Ich barauche die ersten 3 Ableitung, mithilfe der Ketten - und der Quotientenregel.
Zudem Extrema, Wendepunkte, Monotomiebereiche, Asymptoten und Polstellen, Nullstellen, und Angabe des Definitionsbereich. Danke |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 13:35: |
|
Hi Marten, Rückfrage:
meinst du das so:
ax2
------------ = f(x)
x2 + bx + c
? |
Marten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 13:51: |
|
genau, die meine ich. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 14:03: |
|
Erste Ableitung:
2ax(x2+bx+c) - ax2(2x+b)
----------------------------- = f '(x)
(x2+bx+c)2
vereinfacht zu
abx2 + 2acx
-------------- = f '(x)
(x2+bx+c)2
kannst du dann die zweite und dritte selber?
Am besten genauso reinschreiben, dann kann man die Brüche besser lesen, wenn du noch x^2 ersetzen willst, formatiert wird dies mit x\+{2} |
Marten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 14:44: |
|
ist das richtig?
(2abx+2ac) (x^2+bx+c) - (2x+b) (abx^2+2acx)
---------------------------------------------= f''(x) =
(x^2+bx+c)
2abcx+2ac^2-2acx^2
---------------------
(x^2+bx+c)^4 |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 15:04: |
|
Teilweise hast du die Kettenregel berücksichtigt, indem du das (2x+b) im Zähler als Faktor angefügt hast, der andere Teil bestand darin, dass das die 2 aus dem Exponenten des Nenners von f '(x) auch mit als violetter Faktor 2 ergibt.
(2abx+2ac) (x²+bx+c)2 - (2x+b) (abx²+2acx)*2(x²+bx+c)
--------------------------------------------------------
(x²+bx+c)4
die orangefarbige 2 würde beim Kürzen mit (x²+bx+c) wegfallen:
(2abx+2ac)(x²+bx+c) - (2x+b) (abx²+2acx)*2
------------------------------------------------
(x²+bx+c)3
aber die violette 2 bleibt bestehen.
Vereinfache das mal, ich prüfe es dann wieder nach. |
Marten
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 15:49: |
|
stimmt, die Kettenregel hab ich nicht beachtet. Danke.
noch ne Frage: bei der Bestimmung des Definitionsbereiches, muß ich doch den Nenner gleich 0 setzen. wie kann ich denn dann diese Gleichung nach x auflösen. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 17:30: |
|
Nenner = x^2+bx+c = 0, löse mit quadratischer Ergänzung auf (oder mit p-q-Lösungsformel, dann ist p=b und q=c)
Hast du inzwischen schon Extrema und Wendepunkte berechnen können? |
Marten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 18:53: |
|
ja, aber wenn ich das so berechne kommt da raus, dass c nichts größer als b/4 sein darf, da ja sonst unter der Wurzel nichts rauskommen würde.
wie schreibe ich denn dann die Definitionsmenge hin.
Zudem müßte es ja auch noch einen 2. Definitionsbereich geben, da es ja zwei Variablen sind.
die Extrem müßten x=0 und x=-2b/c sein? Ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind, sowie die y-Werte kann man nicht sagen, da dies von a,b,c abhängig ist. Ist das richtig?
bei den Wendestellen treten bei mir Probleme auf. Als ich den Nenner Null setzte, stand da:
-abx^3-3acx^2+ac^2=0 wie soll ich jetzt weitermachen? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 19:21: |
|
Hi Marten,
zunächst soll ja als Einschränkung für ID gelten, dass x²+bx+c¹0.
Also x¹-b/2 ±Ö(b²/4-c)
Dass dann der Radikand b²/4-c größer als Null sein muss, ist unerheblich, stell dir vor, es stünde z.B. x²+2x+5 im Nenner, der Bruch wäre für alle x aus IR definiert, obwohl der Radikand negativ wäre.
Also ID=IR\{x=-b/2 ±Ö(b²/4-c)}
Wieso zwei Variablen?
Wenn du schon die Parameter zählst, dann doch wohl drei zusätzlich zum x, oder nicht?
zu den Extrema:
Extremstellen sind richtig.
Ich würde es so sagen:
Ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind, ist von a,b,c abhängig.
Dass man es nicht sagen kann, halte ich für falsch. Man kann dann die verschiedenen Fälle betrachten (von anfänglich je zwei Möglichkeiten für a>.., a<.., b>.., b<.., c>.., c<.., also 8 Kombinationen, werden sich zwar noch welche reduzieren) und dann Aussagen über Hoch- oder TP treffen, bloß, ob das bei einem so allgemein gefassten Funktionsterm Sinn hat, sei dahingestellt.
Das, was du als letztes geschrieben hast, müsste ich erst nachrechnen, du meinst doch wahrscheinlich den Zähler, denn 1. im Nenner kommt schließlich gar kein a vor, und 2. muss der Zähler Null werden, wenn der Bruch Null werden soll.
Schreib doch mal deine ausgerechnete 2.Ableitung hier rein. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 19:25: |
|
drei einschließlich dem x
bzw. zwei zusätzlich zum x |
Marten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 20:28: |
|
2ac^2-2abx^3-6acx^2
---------------------=f''(x)
(x^2+bx+c)^3
2ac^2-2abx^3-6acx^2 = 0
-abx^3-3acx^2+ac^2 = 0
und weiter?
Aber ich muß doch noch prüfen, ob die 2. Ableitung bei den Extrema nicht null ist.
da gibt es doch bestimmt eine oder mehrere Ausnahmen. wie mach ich das? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 22:05: |
|
Hi Marten, den Zähler der zweiten Ableitung 2ac^2-2abx^3-6acx^2 habe ich jetzt nachvollzogen. Aber allmählich frage ich mich: wofür brauchst du das alles bis ins letzte Detail für so eine allgemeine Funktion?
an der Stelle 2ac^2-2abx^3-6acx^2 = 0 ist die Lösung einer Gleichung dritten Grades angesagt, dazu findest du z.B. etwas auf dieser Seite, und zwar von der Stelle an, wo der Text in Grau anfängt
allgemein z³ + Rz² +Sz + T = 0
.
.
.
ich sage dir aber schon gleich, dass das mit R=3c/b, S=0 und T=-c²/b hinterher ein wildes Formelchaos gibt, dessen Ausmaße wohl mit der zweiten bis dritten Potenz der Anzahl Rechenschritte wachsen werden.
Also erstmal die Legitimation: wofür brauchst du gerade die Diskussion solch einer Funktion, die zwar sehr allgemein gehalten, aber eben doch so speziell ist, dass z.B. der Grad ihres Zählers und Nenners gleich sind? |
Marten
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 09:15: |
|
für meine Facharbeit in Mathematik |
Marten
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 10:24: |
|
zudem hab ich ne FRage zur 3. Ableitung:
ich schreibe dir mal nur den Zähler auf:
(-6abx^2-12acx^2)(x^2+bx+c)^3 - 3(2x+b)^2(x^2+bx+c)(abx^2+2acx)
da kürzt sich zwar was weg, aber wnn ich das auflöse kommt da nur Wirr Warr raus und alles ist negativ. Und alles miteinander subtrahieren, kann ich nicht, weil ich den totalen Überblick verloren habe. Bibt es da einen Trick oder so?
und das mit der kubischen Resolvente peile ich nicht, da ich dass noch nicht in der Schule hatte. Gbt es da nicht ein anderes Verfahren? |
Marten
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 10:42: |
|
Außerdem fällt ir gerade beim durchrechnen auf, dass ich bei den Extrema einen Fehler gemacht habe.
die beiden Extrema sind bei x=0 und x=-2c/b? Ist das richtig? kann man sagen das ein Extremum bei (0/0) liegen muß? und das andere bei
(-2c/b /4ac^2/b^2 im Zähler und 4c^2/b - c im Nenner)
also:
4ac^2/b^2
------------ = y
4c^2/b - c
Dann ist mir noch ein Problem bei den Nullstellen aufgefallen. Ist die einzige Nullstelle x=0?
Das finde ich ein wenig merkwürdig? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 17:43: |
|
Hallo Marten, zu 11:24 Uhr:
das kann man noch ohne relativ großen WirrWarr ausmultiplizieren, du musst nur stetig und konzentriert da rangehen, dann kannst du schon den Überblick behalten. Ich möchte dich nicht entmutigen, aber wenn du die Gleichung dritten Grades lösen willst, um die (möglichen!) Wendestellen auszurechnen, musst du eine solche Termmultiplikation ja wohl beherrschen.
Wirklich schlimm wird es, wie gesagt, nämlich erst, wenn du die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen willst, und ich kenne kein anderes Verfahren (ein numerisches ist ja wohl ausgeschlossen, solange a,b und c unbekannt sind), das eine kubische Gleichung lösen kann.
Übrigens: das mit der kubischen Resolvente ist nur für die dortige Gleichung 4.Grades notwendig, die Berechnung der Lösungen einer Gl. 3. Grades setzt, wie gesagt, erst an der Stelle
allgemein z³ + Rz² +Sz + T = 0
.
ein.
Bis jetzt habe ich das auf dieser Seite beschriebene auch noch nicht ausprobiert, mir hat noch immer eine Näherungslösung gereicht. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 18:01: |
|
zu 11:42 Uhr:
die beiden Extrema bei x=0 und x=-2c/b sind richtig, sorry, ich habe nicht so genau hingeschaut, war halt 'n Dreher drin.
Bei (0|0) müsste, soweit ich das abschätze, eins liegen, denn die zweite Ableitung wird dort wohl nicht Null werden, außer vielleicht, wenn c=0 ist.
Mach dir doch mit einem Funktionenplotter mal mehrere Beispielkurven für verschiedene Werte von a, b und c.
Dann wird das mit der Nullstelle auch schnell klar. Dass dort die einzige ist, kann dir dann mit Betrachtung der Asymptoten, die du ja auch noch machen willst, ganz schnell klar werden.
Warum sollte es auch noch mehr Nullstellen geben?
Der Zähler hat doch nur den einen Term ax², und der ist nunmal nur dann Null, wenn x=0 ist, und sonst nirgends.
Die y-Koordinate werde ich bei Gelegenheit mal nachrechnen, oder stell diese Einzelfrage doch noch mal separat ins Board, mit der Angabe vom Funktionsterm f(x) und x=-2c/b müsste eigentlich jeder, der Lust dazu hat, was anfangen können.
Eventuell könntest du ja bei der Gelegenheit mal einige Formatiercodes benutzen
z.B. schreibt sich x3 so: x\+{3}
Übrigens, hast du keine Tastatur, bei der man mit der Tastenkombination "Alt Gr"+"2" eine 2 als Hochzahl schreiben kann?
Gruß, Bernd |
Marten
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 19:09: |
|
- ich habe als asymptote y=a. das kann man auch gut an den Zeichnungen erkennen.
- der Wertebereich müßte W=D sein
nur bei den Monotomiebereichen stelllen sich bei mir noch Fragen auf. nach der Berechnung der Extrema hab ich ja 3 Monotomiebereiche. aber woher weiß ich, ob -2c/b kleiner oder größer 0 ist? was soll ich denn da´nn für Probewerte einsetzten, um auf die Monotomie des Graphen schließen zu können?
Außerdem hab ich noch eine Frage. Die Bedingungen der Wendestellen sind ja f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0. Kann man die 2. bedingung nicht weglassen oder sie ersetzen durch eine andere Bedingung, da ich den Weg über die 3. ableitung ziemlich kompliziert finde. Zudem macht das einen guten Eindruck auf den Lehrer, wenn man nicht genau dem Unterrichtsstoff Folge leistet. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 22:43: |
|
Hi Marten,
soweit ich das überblicke, ist der Wertebereich IW schon etwas komplizierter als nur IW=ID.
denn es gibt zwei Fälle:
a) ID=IR, die Funktion hat keine Definitionslücken.
Dann hat sie auch keine Polstellen, und da die dann einzige Asymptote waagrecht bei y=a liegt, der Graph sich aber an diese Asymptote für x ® ± ¥ annähern muss, ist ihr Wertebereich beschränkt auf alle Werte zwischen Hoch- und Tiefpunkt, so dass in dem Fall die relativen Extrema auch absolute Extrema sind. (Bei x=0 ist ja auf jeden Fall eine Extremstelle, das müsstest du mit Einsetzen in die zweite Ableitung schon herausbekommen haben, dann hängt es vom Vorzeichen von a ab, ob dort ein H oder T ist)
b) die Funktion hat Definitionslücken bei x=-b/2 ±Ö(b²/4-c), wie schon oben im Beitrag vom Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 20:21 gesagt, dann sind diese Werte aus der Definitionsmenge ausgenommen.
Dann aber hat sie an diesen Polstellen eine senkrechte Asymptote, wenn man vom Spezialfall b=c=0 mal absieht. Also gehen die Funktionswerte entweder gegen +¥ oder -¥. Da der Graph sich andererseits auch an die waagrechte Asymptote annähern muss, ist IW auch wieder nicht gleich ID.
Das Vorzeichen von -2c/b kannst du durch eine Fallunterscheidung [(b>0 und c>0) oder (b<0 und c<0), dann negativ); umgekehrt positiv] in Betracht ziehen.
Die Monotoniebereiche ergeben sich nach diesen beiden Fällen.
Zur Prüfung, ob bei xW auch wirklich ein Wendepunkt vorliegt, weiß ich auch nichts anderes, außer, das Vorzeichen von f ''(x) für x<xW und xW<x zu betrachten. Einen guten Eindruck würde es sicher machen, wenn du es vollständig schaffst, ob das allerdings einfacher wird als f '''(xW) auszurechnen, angesichts der vielen Möglichkeiten, wie die drei Parameter aussehen können, wage ich, zu bezweifeln.
Noch eine Sache, die du noch gar nicht erwähnt hast:
Ich bin mir nicht sicher, ob es bei der Parameterzahl viel Erfolg hat, aber normalerweise immer gut ist es, das Symmetrieverhalten der Funktion/des Graphen zu untersuchen.
Meist kann man dann schon ein paar Fälle in einen Topf werfen, z.B. ist es relativ belanglos, ob a=3 oder a=-3 ist. Der Graph würde sich halt an der x-Achse spiegeln, d.h., f-a(x)=-fa(x).
Versuch dann auch mal, die Quadratfunktion im Nenner in Scheitelpunktform auszudrücken. Das könnte für die Symmetriebetrachtung und für deinen guten Eindruck auch noch was bringen.
Mehr fällt mir nicht ein |
|
