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Ben Ritter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 02:36: | 
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Hallo,
ich soll den Kosinussatz
a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos (Winkel b,c)
beweisen bzw. herleiten.
Wie fang ich da am besten an?
Danke im Voraus |
Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 09:42: |
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Hallo Ben,
das ist total easy! Zeichne einfach mal ein beliebiges Dreieck auf mit den üblichen Bezeichnungen: a,b,c sind die Namen der Seiten und Alpha sei der Winkel gegenüber der Seite a.
Nun zeichne noch die (eine) Höhe des Dreiecks ein. Das heißt: Von der Ecke, an der sich sie Seiten a und b berühren eine Linie zur Seite c ziehen, die senkrecht zur Seite c steht. Nun haben wir das beliebige Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Und die Seite c ist in die 2 Bereiche links und rechts des Punktes unterteilt, in dem die eingezeichnete Höhe die Seite c trifft. Wir wollen die eingezeichnete Höhe h nennen und das Stück der Seite c von der Höhe bis zu der Ecke, an der sich c und b berühren wollen wir s nennen. Demzufolge ist das restliche Stück der Seite c (von der Höhe bis zur Ecke, an der sich die Seiten a und c berühren) c-s. Hat sich alles ein wenig kompliziert angehört, aber wenn man es aufzeichnet, dürfte es klar sein. Nun können wir mit dem Beweis beginnen. Da wir 2 rechtwinklige Dreiecke haben, können wir folgende 3 Glöeichungen aufstellen:
1. h^2 + s^2 = b^2
2. (c-s)^2 + h^2 = a^2
3. cos(Alpha) = s/b
Die erste Gleichung lösen wir nach h^2 auf und erhalten:
(1) h^2 = b^2 - s^2
Die dritte Gleichung lösen wir nach s auf und erhalten:
(2) s = b * cos(Alpha)
Nun ersetzen wir in Gleichung 2 den Wert von h^2 durch die Gleichung (1) und den Wert von s durch Gleichung (2).
Wenn man jetzt noch den Ausdruck vereinfacht, erhält man den von Dir oben gesuchten Kosinussatz. Hoffe, Du hast alles verstanden, sonst melde Dich einfach noch mal.
Martin :-) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 10:14: |
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Hi Ben,
Es gibt verschiedene Herleitungen des Kosinussatzes;
welche der Methoden man anwendet, hängt vom
Instrumentarium ab, welches benützt werden darf
Massgeblich sind somit die Mittel, welche zur Verfügung stehen
(Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks,
Definition der trigonometrischen Funktionen auch für stumpfe
Winkel, Vektorrechnung, inlusive Skalarprodukt)
Im folgenden zeige ich eine einfache Methode, die in
Schulbüchern nur selten anzutreffen ist:
Ein allgemeines Dreieck ABC mit den Seiten AB = c ,
BC = a, CA = b und dem Innenwinkel alpha bei A wird mit
einem rechtwinkligen Koordinatensystem so verknüpft, dass
folgendes gilt:
A fällt mit dem Nullpunkt zusammen, B liegt auf der
positiven x-Achse und hat die x-Koordinate c : B( c / 0)
Die Ecke C hat die x - Koordinate xC = b * cos (alpha)
und die y- Koordinate yC = b* sin (alpha)
Für alpha gilt : 0 < alpha < 180°
Wir berechnen mit der Abstandsformel a^2 und erhalten :
a ^ 2 = [ b* cos (alpha) - c ] ^ 2 + [ b * sin (alpha) - 0 ] ^ 2
Löst man die Klammern und benützt
sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1, so steht der Kosinussatz vor uns.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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