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DerDumme
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 18:08: | 
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Hi
0=ax^4-bx^3+cx^2+dx+15
kann mir jemand sagen wie ich da weiterkomme, bzw. die nullstellen bestimmen kann?
danke im voraus |
Kai
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 23:24: |
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Vermute mal, daß das vor dem b auch ein "+" sein soll.
Wenn Du kein Wissen über a,b,c und d hast, dann kannst Du das nicht explizit ausrechnen.
Woher hast Du die Gleichung? Aus einer Textaufgabe?
Kai |
Alf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 15:23: |
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Hallo Kai,
Du hast nicht ganz recht.
Da es sich um ein Polynom vierten Grades handelt, lassen sich die Nullstellen immer explizit mit Hilfe von Radikalen (Wurzeln) darstellen. Natürlich bleibt die Abhängigkeit dieser Nullstellen von a, b, c und d. Wenn x01, x02, x03 und x04 die vier Nullstellen sind, so läßt sich stets eine Schreibweise der folgenden Form finden:
x01 = f1(a,b,c,d)
x02 = f2(a,b,c,d)
x03 = f3(a,b,c,d)
x04 = f4(a,b,c,d)
Bei Bedarf kann ich die Funktionen f1 bis f4 hier angeben. Es wäre jedoch wenig sinnvoll, da diese Funktionen ausgeschrieben mehrere Heftzeilen in Anspruch nehmen.
M.f.G Alf |
DerDumme
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 17:51: |
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oops, ich meinte mit den buchstaben eigentlich allgemein 'zahlen'
wollte bloss wissen wie man bei so einer funktion die nullstelle bekommen kann, also bei einer funktion mit einem polynom vierten grades, trotzdem danke |
Alf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 14:00: |
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Du willst konkret wissen, wie man die Gleichung vierten Grades auflöst.
Wenn man von der allgemeinen Form
A*x4+B*x3+C*x2+D*x+E=0 ; A¹0
ausgeht, so gelangt man über a=B/A, b=C/A, c=D/A und d=E/A zur Normalform:
x4+a*x3+b*x2+c*x+d=0
Durch die Substitution x=y-a/4 erhält man die reduzierte Form der Gleichung vierten Grades:
y4+p*y2+q*y+r=0
p=-3/8*a^2+b
q=1/8*a^3-1/2*b*a+c
r=-3/256*a^4+d-1/4*a*c+1/16*b*a^2
Für diese Gleichung ergeben sich folgende vier Lösungen:
y1=(u+(v+w)^(1/2))/12
y2=(u-(v+w)^(1/2))/12
y3=(-u+(v-w)^(1/2))/12
y4=(-u-(v-w)^(1/2))/12
t=(-288*r*p+108*q^2+8*p^3+12*(-768*r^3+384*r^2*p^2-48*r*p^4-432*r*p*q^2+81*q^4+12*q^2*p^3)^(1/2))^(1/3)
u=(6*(-4*p*t+t^2+48*r+4*p^2)/t)^(1/2)
v=-(48*p*t+6*t^2+288*r+24*p^2)/t
w=-432*q/u
Die vier Endlösungen xi (i=1...4) erhält man jetzt einfach über
xi=yi-a/4
Hinweis: Die Wurzel über eine komplexe Zahl soll wie folgt definiert sein:
(r*exp(i*j))^(m/n):=r^(m/n)*exp(i*j*m/n)
r³0
-p<j£p
m und n: ganz
r^(m/n) wird gerechnet wie bei positiven reelen Zahlen
D.h., daß die dritte Wurzel von -1 ist nicht -1 sondern 1/2*(1+i*3^(1/2)).
M.f.G. Alf |
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