| Autor |
Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Juli, 2000 - 11:01: | 
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Kann mir jemand die Volumenformel für die platonischen Körper Dodekaeder und Ikosaeder angeben ? Wenn möglich bitte mit Herleitung
Pascal |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 09:07: |
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Hallo Pascal,
zum Dodekaeder:
V=a³*(15+7*Wurzel(5))/4
Zum Ikosaeder:
V=5a³*(3+Wurzel(5))/12
Herleitung ist schwirig!
Ciao
Niels |
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juli, 2000 - 09:58: |
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Danke für die Formeln, aber kann man die Körper nicht irgendwie in Pyramiden unterteilen, um die Formel herzuleiten ?? |
Andreas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Juli, 2000 - 21:08: |
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Ja Prolli, vom Mittelpunkt Linien ziehen, sodaß Du 12 bzw. 20 Pyramiden bekommst.
Andreas |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juli, 2000 - 20:58: |
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Hallo Kollegen,
wie ihr seht bin ich dabei das Thema Stereometrie abzufrüstücken.
Ich habe mich in diesen Zusammenhang auch an die Volumenformel von Dodekaeder und ikosareder herangewagt. Bisher ohne erfolg.
das ist nämlich nicht sob einfach mit den Pyramieden...
Als ich unsere Nachbarn; Das M-O Team fragte, gaben sie mir ein Tip:
es gäbe da nämlich eine Relation zwischen Inkugel und "umkugel" Radius, die mann bei der Herleitung verwenden sollte.
r...höhe der Einzelpyramieden
R...höhe des "Umkugelradius"
a...Kantenlänge
Relation beim Ikossaeder:
R²=r²+ a/3
Um R und r zu bestimmen soll man nun eine "Schnittebene" durch 2 parallele sich gegenüberliegende Kannten des Ikosaeders legen.
das soll dann zur formel führen.
Beim Dodekaeder soll das ähnlich laufen.
Es wäre nett wenn das einer mal zu Ende denken könnte.
Danke im voraus!
Ciao
Niels |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juli, 2000 - 16:04: |
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Hi Kollegen!
Tschä...
kein Anschluß unter dieser Nummer-Oder wie seh ich das...
Sind die "Spezis" wie Fern Franz Zaph und Co in Urlaub oder verstehen sie auch nicht was M-O dazu meint und schreibt.
Naja macht ja nichts-Es sind ja Ferien.
Wäre aber -wie gesagt-nett wenn sich trotzdem jemand mal gedanken machen könnte.
Gruß N. |
franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juli, 2000 - 21:10: |
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Tja, Niels, fertige Lösung habe ich auch nicht und wg Urlaub auch keine Zeit mehr. Würde in Bücherei unter Elementargeometrie / Stereometrie suchen. Tschüß, Franz |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Juli, 2000 - 22:37: |
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Merhaba ,
( Betonung auf der ersten Silbe; "guten Tag" ).
Zurück aus Milet, der Wirkungsstätte von Thales, noch unter dem Eindruck
des Symposiums für Elementarmathematik (inkl.Stereometrie) stehend,
das im Rund des riesigen Theaters aus dem 4. Jahrhundert v.Chr.
open air stattfand, sollte es mir nicht allzu schwer fallen, die Volumina der platonischen Körper #4 und #5 herzuleiten und zwar auf je zwei
verschiedene Arten
Vorbemerkungen
1. Bezeichnungen:
a : Kantenlänge
R : Radius der Umkugel
r : Radius der Kantenkugel ( diese berührt alle Kanten in ihren
Mittelpunkten )
rho : Radius der Inkugel
Alle diese Kugeln haben dasselbe Zentrum.
2 Um die Zusammenhänge der unter Punkt 1 genannten Grössen
besser einzusehen, sollte man von den Körpern Schrägbilder oder,
wenn man über Kenntnisse der Darstellenden Geometrie verfügt,
Orthogonalprojektionen der Körper herstellen.
Im letzten Fall legt man am besten eine der Begrenzungsflächen
parallel zur Projektionsebene (Rissebene) oder stellt eine der Achsen des
Körpers senkrecht dazu.(Eine Achse verbindet die Mittelpunkte paralleler
Seitenkanten) usw.
Liegt z.B. beim Ikosaeder ein Dreieck der Oberfläche auf der
Projektionsebene, so ist der Umriss des Körpers ein regelmässiges
Sechseck..
Steht eine Körperdiagonale senkrecht zur Rissebene, so ist der Umriss
des Ikosaeders ein regelmässiges Zehneck..
Liegt eine Begrenzungsfläche des Dodekaeders parallel zur Rissebene,
so ist der Umriss ein reguläres Zehneck u.s.w.
:
3 Wir benötigen den Hilfssatz:
Das Volumen V eines einer Kugel umgeschriebenen Polyeders (Vielflachs)
ist gleich dem dritten Teil des Produktes aus dessen Oberfläche F und dem Kugelradius rho : V = 1 / 3 * F * rho . (Hi)
Begründung: Jede Seitenfläche des Polyeders bestimmt mit dem
Mittelpunkt der Kugel eine Pyramide mit der Höhe gleich dem Kugelradius.
4. Wir benötigen ferner die Volumenformel für Prismatoide.
Ein Prismatoid ist ein Polyeder, dessen sämtliche Ecken in zwei parallelen Ebenen liegen.
Das Vieleck in der einen dieser Ebenen bildet die Grundfläche G, dasjenige in der Parallelebene die Deckfläche D. Die Mittelparallelebene schneidet aus dem Polyeder ein Vieleck mit dem Flächeninhalt M (Mittelschnitt).
Die Höhe h des Prismatoides ist der senkrechte Abstand der Grund- und Deckfläche.
Das Volumen V beträgt:
V = h / 6 * ( G + 4 * M + D ) (Pri)
5: Man soll sich nicht wundern, dass es bei diesen beiden Körpern nur so
wimmelt von Teilungen nach dem goldenen Schnitt ; schliesslich spielen
reguläre Fünf - und Zehnecke eine Hauptrolle.
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A] Herleitung der Volumenformel eines regulären Dodekaeders der
Kantenlänge a.
Erste Methode : Mit Hilfssatz (Hi)
Daten: (die Herleitung dieser Daten ist etwas schwierig)
R = a / 4 * wurzel ( 6* ( 3 + wurzel (5) ) )
r = a / 4 * ( 3 + wurzel (5))
rho = a / 20 * wurzel ( 10* ( 25 + 11 * wurzel(5) ) )
f5 : Fläche des regelmässigen Fünfecks ( Seitenlänge a)
f5 = a^2 / 4 * wurzel ( 25 + 10 * wurzel(5)) ( Formelsammlung !)
Nun erhält man sofort das gesuchte Volumen mit (Hi):
V = 1 / 3 * F * rho = 4 * f5 * rho =
wurzel (50) / 20 * wurzel ( 235 + 105* wurzel(5))* a ^3 =
=1 / 4* wurzel (225 + 2 * 105 * wurzel(5) + 245) * a ^ 3
Der Radikand der äusseren Wurzel ist das Quadrat von 15 + 7 * wurzel(5) also erhält man das Schlussresultat:
V = ¼ * ( 15 + 7 * wurzel (5) ) * a ^ 3
B] Herleitung der Volumenformel durch Zerlegung des Dodi
in einen Würfel als Kernstück und sechs Keile (Prismatoide) über
jeder Würfelseitenfläche
Grundidee: Das gesuchte Volumen V des Dodekaeders ergibt sich
als Summe aus dem Volumen V1 eines eingeschriebenen Würfels I
der Kantenlänge w und den sechs den Seitenflächen aufgesetzten
kongruenten Prismatoiden, deren Volumina einzeln den Wert V2
haben mögen. Dann gilt V = V1 + 6* V2
Anmerkung:
Es gibt noch einen zweiten, grösseren Würfel Il mit der Kantenlänge W,
der dem Dodekaeder umgeschrieben ist Zwölf Ecken des Dodi liegen
auf Mittellinien der Würfelflächen II .Die acht übrigen Ecken des Dodi
sind die Ecken des kleineren Würfels I., dessen Kanten mit
Flächendiagonalen des Dodekaeders zusammenfallen.
Für w gilt : w = a / 2 * (1 + wurzel(5)) (goldener Schnitt !)
Für W gilt übrigens : W = a / 2 * ( 3 + wurzel(5) )
Die Höhe eines Prismatoids über einer Würfelseitenfläche I beträgt
h = a / 2 . Wir berechnen nun die Grundfläche G und den Mittelschnitt
eines einzelnen der sechs kongruenten Prismatoide,
Die Deckfläche D ist null; es handelt sich ja um eine Strecke der
Länge a parallel zur Grundfläche G , Fläche null Es gilt
G = w ^ 2 = a ^ 2 / 2 * ( 3 + wurzel (5) )
M = (w + a ) / 2 * a / 2
Anm.: M ist ein Rechteck ,der erste Faktor ist Mittellinie im Trapez mit
den parallelen Seiten w und a, der zweite Mittellinie im Dreieck
mit der Grundseite a
Wir rechnen und vereinfachen :4 * M = ( w + a ) * w =
= a ^ 2 * ( 2 + wurzel(5) ), somit nach (Pri):
Volumen V2 eines Prismatoids:
V2 = h /6 * ( G + 4*M) = a ^ 3 / 24 * (7 + 3 * wurzel( 5 ) )
nach gehöriger Vereinfachung ; ebenso:
Würfelvolumen V1 = w ^ 3 = a ^ 3 * ( 2 + wurzel ( 5 ) )
Endergebnis
V = V1 + 6 * V2 = a ^ 3 / 4 * ( 15 + 7 * wurzel (5) ) ----- wie gehabt !
BRAVO !
Analog kann das reguläre Ikosaeder behandelt werden
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 13:24: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Danke, das du (sie) dich (sich) meines Problems angenommen haben.
Hi und Pri kommen mir irgentwie bekannt vor:
Hi von der Herleitung der Kugeloberfläche.
VK=1/3*Ok
Und Pri erinert mich sehr an die simpsonsche Regel.
Ist das korrekt?
Besonders die Herleitung A] interressiert mich.
Wie kann ich R;r; und rho herleiten?
Die Flächenformeln für`s regelmäsige 5 und 10 Eck habe ich schon Hergeleitet.
um die Analogie zum Ikosaeder herstellen zu können ist es notwendig auch hier R,r und rho zu kennen.
Gibt es für R;r und rho beim Ikosaeder andere Formeln?-Wenn ja;Wie kann ich sie herleiten?
Danke im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Niels |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Juli, 2000 - 15:10: |
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Hi Niels ,
Es folgt nun eine Fortsetzung der Volumenberechnung
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B] Das Volumen des regulären Ikosaeders
Gegeben: Kantenlänge a
Gesucht: Volumen V des Ikosaeders
Erste Methode : mit dem Hilfssatz (HI)
Bezeichnungen wie unter a]:
R : Radius der Umkugel
r : Radius der Kantenkugel
Rho : Radius der Inkugel
Wir legen dem Ikosaeder einen Würfel um .
Je zwei parallele Kanten des Ikosaeders liegen in Mittellinien gegenüberliegender Würfelflächen; dies betrifft 6 der 30 Kanten.
Die Kantenlänge w des Würfels berechnen wir aus der Teilung
Nach dem goldenen Schnitt; wir erhalten:
w = a / 2 * ( 1 + wurzel(5) ), daraus folgt:
r = w / 2 = a / 4 * ( 1 + wurzel(5) ) und
R = a / 4 * wurzel [ 2 * ( 5 + wurzel(5) ]
Aus der bereits früher erwähnten Beziehung
R ^ 2 = rho ^ 2 + a ^ 2 / 3 erhalten wir den Inkugelradius :
rho = a / 12 * wurzel(3) * [3 + wurzel(5) ]
Aus der Flächenformel f3 = a ^ 2 / 4 * wurzel(3) für das
gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge a als Seitenfläche
des Ikosaeders erhalten wir mit der Formel (Hi) unseres Hilfssatzes
das gesuchte Volumen V :
V = 1 / 3 * 20 * f3 * rho =
20 / 12 * a ^ 2 * wurzel(3) * a / 12 * wurzel(3) * ( 3 + wurzel(5) ) =
5 / 12 * ( 3 + wurzel(5) ) * a ^ 3
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Zweite Methode: Zerlegung des Ikosaeders in zwei Pyramiden
und ein Prismatoid.
Zwei geeignete Normalschnitte zu einer Achse des regulären
Ikosaeders zerlegen dieses in zwei (gegeneinander um 180° verdrehte)
kongruente reguläre fünfseitige Pyramiden und ein Prismatoid.
Das Volumen einer solchen Pyramide sei V1,
dasjenige des Prismatoids V2.
Dann gilt: V = 2 * V1 + V2 .
a) Bestimmung der Höhe h1 einer Pyramide aus einem
rechtwinkligen Dreieck AZS.
A: eine Ecke der Grundfläche der Pyramide,
Z : Mittelpunkt des regulären Fünfecks ,welche die
Grundfläche bildet.
S: Spitze der Pyramide (selbst eine Ecke des Ikosaeders)
Es gilt:
AS = a , AZ ist der Umkreisradius der regulären Fünfecks, also:
AZ = a /10 * wurzel ( 50 + 10 * wurzel(5) )
ZS = h1 ; mit Pythagoras erhalten wir:
h1 = a / 10 * wurzel [10 * ( 5 - wurzel(5) ) ]
b) Berechnung der Höhe h2 des Prismatoids:
Es gilt Gesamthöhe 2 * h1 + h2 = R ( Radius der Umkugel)
Daraus: h2 = a / 10 * wurzel [10 * ( 5 + wurzel(5) )]
c) Berechnung von V1:
Die Grundfläche f5 der Pyramide ist ein regelmässiges Fünfeck; daher ist
f5 = a ^ 2 / 4 * wurzel [5* ( 5 + 2 * wurzel(5) )]
V1 = 1/3 * h1 * f5 = a ^ 3 / 24 * wurzel [ 10 * ( 3 + wurzel(5) ) ]
(nach starker Vereinfachung)
d) Der Mittelschnitt M des Prismatoids ist ein reguläres Zehneck
mit der Seite s = a / 2 ; man erhält
M = 5 / 2 * s ^ 2 * wurzel [ 5 + 2 * wurzel(5)) ] =
5 / 8 * a ^ 2 * wurzel [ 5 + 2 * wurzel(5)) ]
e) Volumen V2 des Prismatoids mit (Pri):
V2 = h2/6 * ( G + 4*M * D) mit G = D = f5
Es kommt nach einiger Rechnung
V2 = a ^ 3 / 6 * ( 5 + 2 * wurzel(5) )
Schliesslich erhalten wir das ersehnte Schlussresultat:
V = 2 * V1 + V2 =
a ^ 3 / 12 * { wurzel [10 * (3+wurzel(5))) ] + 10 + 4 * wurzel(5) }=
5 /12 *a ^3*{2+ 4/5 * wurzel(5) + wurzel [ 2/5*(3 + wurzel(5) )] } =
5 /12 * a ^ 3 * ( 3 + wurzel(5) )
Zuletzt wurde noch von der Identität
wurzel (3 + wurzel(5) ) = ( 1 + wurzel(5) ) / wurzel(2)
Gebrauch gemacht.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
: |
Bubble
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 22:37: |
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Hallo ihr Mathefreaks,
mir ist gerade aufgefallen, daß es eine neue Rubrik "Universitäts-Niveau" gibt.
Vielleicht seid Ihr da besser aufgehoben...
J |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Juli, 2000 - 23:59: |
|
Nomen est omen. |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 07:28: |
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Hallo Megamath,
Danke für die Ikosaederherleitung.
Aber eins verstehe ich nicht:
Warum hat die Kantenlänge des Würfels die Länge eines größeren Abschnitts einer im goldenen Schnitt geteilten Strecke.
Und was für eine Fortsetzung soll da noch folgen?
Danke im Voraus!
Gruß Niels |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. August, 2000 - 12:59: |
|
Hi Niels ,
Momentan habe ich nicht viel Zeit, auf Deine Fragen näher einzugehen.
Wir begehen nämlich heute in der Schweiz den Nationalfeiertag.
Da gibt es einiges zu tun und die Festivitäten könnten sich gehörig ausdehnen.
Jedenfalls ist auch der morgige Tag für eventuelle Nachfeiern reserviert.
Ich muss mich nolens volens für ein paar Tage aus dem Board abmelden
Weiter:
Es ist im Fernunterricht nicht leicht, auf Deine Fragen einzugehen;
da wäre Direktunterricht wohl das bessere Medium. Ich könnte Dir
dabei anhand von Modellen oder Konstruktionen mittels
Darstellender Geometrie einige Details erklären.
Via Board geht das nur umständlich oder eben gar nicht
Meine Absicht in der angekündigten "Fortsetzung" war dies:
Ich habe eine ziemlich raffinierte Herleitung des Volumens für das
Ikosaeder in peto; die Arbeit ist aber noch nicht ganz ausgereift !
.
Alles zu seiner Zeit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 15:11: |
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Hi Niels,
Wunschgemäss gehe ich nochmals auf das reguläre Ikosaeder ein.
Wir wollen diesen Körper gewissermassen in statu nascendi beobachten.
Die folgende Arbeit ist in zwei Abschnitte unterteilt.
A]
Zuerst üben wir das Rechnen mit Termen, die bei der Teilung nach dem goldenen Schnitt eine Rolle spielen
Unter u verstehen wir die positive Lösung der quadratischen Gleichung
x ^ 2 - x - 1 = 0, also
u = ( wurzel (5) + 1 ) / 2 ;
v sei die positive Lösung der Gleichung
x ^ 2 + x - 1 = 0 , also
v = ( wurzel (5) - 1 ) / 2 .
Es gelten die Beziehungen:
u = v + 1 , u * v = 1 , u + v = wurzel(5) ,
wurzel(5) kann ersetzt werden durch 2*u - 1 oder 2*v + 1 .
Die Potenzen von u und v können linearisiert werden ; es gilt:
u^2 = u + 1 ,
u^3 = u*u^2 = u * (u + 1) = u^2 + u = 2*u + 1
u^4 = u*u^3 = u * (2*u+1) = 2*u^2 + u = 2*(u+1) + u = 3*u + 2
u^5 = u*u^4 = u * (3*u+2) = 3*u^2 + 2*u = 3*(u+1) +2*u = 5*u + 3
u^6= .......................................................................................= 8*u + 5
u^7=........................................................................................= 13*u + 8
u.s.w.
allgemein:
u^n = a(n) * u + a(n-1) , n = 2,3,4... mit a(1) = 1 , a(2) = 1,
Bemerkenswert: die Folge a(n) ist die bekannte Fibonacci-Folge mit den Startwerten a(1) = a(2) =1.
Rekursionsformel: a(n) = a(n-1) + a(n-2), n = 3,4.5,..
.
Analoges gilt für die Potenzen von v
v^2 = 1 - v
v^3 = v*v^2 = v* (1-v) = v - v^2 = 2*v -1
v^4 = v*v^3 = v* (2*v-1) = 2 * v^2 - v = 2 - 3*v
v^5 = v*v^4 = v* (2-3*v) = 2* v - 3 * v^2 = 5*v - 3
v^6 = ........................................................... = 5 - 8*v
v^7 = ...............................................................= 13*v - 8
u.s.w
Bemerkungen wie bei v^n; achte auf den Vorzeichenwechsel im Zweitakt !
Die folgenden Terme sollen durch Linearisierung der Potenzen
von u und v so stark wie möglich vereinfacht werden.
(1) u^2 + v^2
= u + 1 + 1 - v = u - v + 2 = 1 +2 = 3.
(2) u^2 - v^2
= u + 1 - (1 - v ) = u + v = wurzel(5)
(3) a) Schreibe 3 + wurzel(5) mittels u , v
b) dasselbe für 3 - wurzel(5)
Lösg.: a) 3 + wurzel(5) = 2* u^2 b) 3 - wurzel(5) = 2*v^2
(4) Vereinfache u^3 - v^3
u^3 - v^3 = 2*u + 1 - (2*v - 1) = 2*( u - v ) + 2 = 2 * 1 + 2 = 4
B]
Zurück zum regulären Ikosaeder.
Wir gehen aus von einem Würfel der Kantenlänge w = 2.
Wir schneiden ihn mit seinen drei zu den Seitenflächen parallelen
Symmetrieebenen. Jedes der drei Schnittquadrate wird in einer Richtung
und Gegenrichtung zu einem Rechteck verlängert, dessen Seiten im
Verhältnis des goldenen Schnittes stehen,
dabei ist die eine Rechteckseite nach wie vor w =2,
die andere, verlängerte , misst w / 2 * ( wurzel(5) + 1) ,
und das wirkt Wunder !
Verbindet man geeignete 12 Rechtecksecken gradlinig miteinander ,
so erhält man ein reguläres Ikosaeder der Kantenlänge 2.
Für die allgemeine Kantenlänge a sind die Längen dieses Ur-Ikosaeders
einfach mit a/2 zu multiplizieren im Sinne einer
Aehnlichkeitstransformation.
Um die Idee zu fixieren, legen wir den genannten Würfel in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem, Mittelpunkt im Ursrung O,
Würfelkanten je parallel zu den drei Koordinatenachsen
Wir arbeiten im folgenden mit genau einer Begrenzungsfläche ABC
des Ikosaders und geben die Koordinaten der Ecken A,B und C an.
Dabei verwenden wir konsequent die Abkürzungen u und v aus Abschnitt A.
Es kommt:
A (1 / 0 / u ) , B ( 0 / u / 1 ) , C ( -1 / 0 / u)
Wir zeigen zunächst, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist,
Seitenlänge a = 2 als Sonderfall.
AB ^ 2 = 1^2 + u^2 + (u-1) ^ 2 = 1 + u^2 + v^2 = 4 (siehe Beispiel 1 unter A)
also AB = 2,
BC ^ 2 = 4 (dieselbe Rechnung) , also BC = 2
CA = 2 (trivial)
Berechnung des Radius R der Umkugel
Es gilt R = AO = BO = CO ( Mittelpunkt des Ikosaeders im Nullpunkt O)
AO ^ 2 = 1^2 + 0^2 + u^2 = 1 + u + 1 = u + 2 , daraus:
R =AO = wurzel [ (5 + wurzel (5)) / 2] wie in früheren Formeln,
wenn dort a = 2 gesetzt wird
BO und CO liefern dasselbe Resultat
Berechnung des Radius der Kantenkugel
r ergibt sich als Abstand der Seitenmitten von O;
wir wählen den Mittelpunkt N der Seite AB.
Die Koordinaten von N sind:
N( ½ ; u/2 ; (u+1)/2 )
Somit gilt:
NO ^ 2 = ¼ * { 1 + 2* u^2 + 2*u + 1} = ½ * {1 + u^2 + u} =
½ * {1 + u + 1 + u } = u + 1 = u ^ 2 , also
r = AO = u = (1 + wurzel(5)) / 2 , wie es sein muss !
Berechnung des Radius rho der Inkugel.
rho ergibt sich als Abstand des Schwerpunktes S
des Dreiecks ABC von O ; die Koordinaten des Schwerpunktes
ergeben sich der Reihe nach als arithmetische Mittel
der Koordinaten der Ecken , also:
S ( 0 ; u/3 ; (2u+1) / 3)
SO ^ 2 = 1/9 * { u^2 + (2u +1)^2} = 1/9 * { u^2 + 4 u^2 + 4u + 1}=
= 1 / 9 * (5 u^2 +4u +1) = 1 / 9 * { 9 u + 6}= 1/3 * (3u + 2)=
= 1/3 * u^4 (siehe Tabelle der Potenzen von u im Abschnitt A),ergo:
rho = wurzel(3) / 3 * u^2 = wurzel (3) / 3 * (u+1) =
wurzel(3) / 6 * [3 + wurzel(5)] alles o.k.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 14:18: |
|
Hi Niels,
Als Abschluss der Volumenberechnung für das reguläre Ikosaeder
möchte ich noch eine Variante zum Thema Ikosaeder im Würfel
anfügen. Diese Modifikation der Methode, welche ich in meiner
Arbeit vom 4.8. ausführte, ist vielleicht die einprägsamste.
Wiederum arbeiten wir mit einer Seitenfläche ABC, deren Ecken
durch die Koordinaten, bezogen auf ein
rechtwinkliges Koordinatensystem, gegeben sind.
Wir berechnen nur den Radius rho der Inkugel; das gesuchte
Volumen V zur Kantenlänge a ergibt sich dann bekanntlich sofort
aus der Formel V = F * rho / 3 , wobei F = 20 * a ^ 2 / 4 * wurzel(3)
die Oberfläche des Ikosaeders darstellt.
Wiederum verwenden wir die Abkürzungen u und v
(siehe die zitierte frühere Arbeit) :
u = ( wurzel(5) + 1 ) / 2 ; v = ( wurzel(5) - 1 ) / 2
Man sollte das Rechnen mit Termen, welche u und v enthalten,
unbedingt beherrschen, insbesondere die Linearisierung der Potenzen
von u und v !
Wir sind startbereit ; go!
Ausgangspunkt ist ein Würfel der Kantenlänge 1 mit Mittelpunkt
im Ursprung O des Koordinatensystems, je vier Kanten des Würfels
sind zu den Kordinatenachsen x , y, z parallel
Die Ecke P im ersten Oktant hat demnach die Koordinaten
P(1/2;1/2;1/2)
Auf der vorderen Seite des Würfels sollen die Ecken A,B,
auf der obere Seite des Würfels die Ecke C des Ikosaeders liegen.
Wir setzen die Koordinaten dieser Ecken treffsicher so an:
A ( 1 / 2 ; - s / 2 ; 0 ) , B ( 1 / 2 ; s / 2 ; 0 ), C ( s / 2 ; 0 ; 1 / 2 ) ;
s ist eine zu bestimmende Konstante. Wegen AB = s ist s gerade
die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks ABC.
Wir fordern daher : AC = s; das führt auf die Gleichung:
[s / 2 - 1 / 2 ] ^ 2 + [ s / 2 ] ^ 2 + [ 1 / 2 ] ^ 2 = s ^ 2 , vereinfacht:
s ^ 2 + s - 1 = 0 , das ist die aus der Teilung nach dem goldenen Schnitt bekannte quadratische Gleichung
Die Lösungen sind
s1 = v , s2 = - u.
Anmerkung
s1 führt auf das von uns zu untersuchende reguläre Ikosaeder;
Im folgenden werden wir daher s = s1 = v einsetzen
s2 führt auf einen anderen Körper, auf das sogenannte
Poinsot -Sternpolyeder. Dieses besteht ebenfalls aus 20
gleichseitigen Dreiecken, jedoch treten
Selbstdurchdringungen auf.
Dieses Polyeder wurde vom französischen Mathematiker
und Physiker Louis Poinsot entdeckt , der übrigens im selben
Jahr wie Gauss geboren wurde.
Den Physikern ist Poinsot bekannt aus der geometrischen Statik
(Drehmoment, Trägheitsellipsoid u.a.)
Für ein Ikosaeder mit gegebener Kantenlänge a sind alle Längen,
die wir aus der Kantenlänge s = v erhalten, nachträglich noch mit dem
Aehnlichkeitsfaktor a * u zu multiplizieren.
Aus s = v wird dann
s * a* u = v * a * u = a * u * v = a ,wie es sein muss
( pro memoria : es gilt ja u * v = 1 )
Im Dreieck ABC gilt für den Schwerpunkt S :
S( {1 + s / 2} / 3 ; 0 ; 1 / 6 ) .wobei s = v zu setzen ist.
Damit berechnen wir das Quadrat des Inkugelradius rho ^ 2 :
rho ^ 2 = OS ^ 2 = 1 / 36 * [ ( 2 + v ) ^2 + 1 ] =
= 1 / 36 * [5 + 4 * v + v ^ 2 ] = 1 /36 * [ 5 + 4 * v + 1 -v ]
= 1 / 12 * [2 + v) ] = 1 / 12 * [ 1 + 1 + v ] =
= 1 / 12 * [ 1 + u ] = 1 / 12 * [u ^ 2 ] ( wunderbar ! )
Wurzelziehen ; es kommt
rho = wurzel(3) / 6 * u
Der Radius Rho der Inkugel für ein Ikosaeder der Kantenlänge a
ergibt sich, wenn der zuletzt erhaltene Wert noch mit a * u
multipliziert wird.
Wir erhalten endgültig:
Rho = wurzel(3) / 6 * u * a * u = wurzel(3) / 6 * u ^ 2 * a =
= wurzel(3) / 6 * ( u + 1 ) * a =
= wurzel(3) / 12 * ( 3 + wurzel(5) ) * a
wie bei früheren Berechnungen !
Ende gut, alles gut !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 08:42: |
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Hallo Megamath,
Danke für deine kompetenten und verstäntlichen Erklärungen! Ich glaube ich habe jetzt alles verstanden.
Gruß Niels |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 11:14: |
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An alle Ikosaeder-Fans,
Als Trost für die Daheimgebliebenen möchte ich im Sinne einer Beschäftigungstherapie ein paar Ikosaederaufgaben stellen
(Beteiligung freiwillig, Lösungen erwünscht).
1. Wieviele Körperdiagonalen hat ein reguläres Ikosaeder ?
Man drücke die Längen der Diagonalen durch die Kantenlänge
des Ikosaeders aus
2 Man berechne den Winkel alpha zwischen zwei benachbarten
Seitenflächen des regulären Ikosaeders, ebenso den Winkel
beta zwischen einer Kante und der Gegenfläche bei einer
fünfseitigen Ecke .
Welche Beziehung besteht zwischen diesen Winkeln ?
3. Das reguläre Ikosaeder lässt sich durch Drehung um bestimmte
Achsen mit sich selbst zur Deckung bringen.
Man bestimme diese Achsen und die zugehörigen Drehwinkel..
4. Man bestimme die Ordnung der Ikosaedergruppe.
(Zur Beantwortung dieser Frage aus der Gruppentheorie kann das Resultat aus Aufgabe 3 benützt werden
Dies sollte für den Anfang genügen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Simone
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. August, 2000 - 13:51: |
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Hi Leute
kann mir mal jemand erklären warum ich wenn ich bei der Potenzrechnung als Grundzahl (Basis) 10 und als Hochzahl (Exponent) 0 habe als Ergebnis eins rauskommmt und nicht null!!!
Danke |
H.R.Moser,megameth.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. August, 2000 - 20:46: |
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Hi,
Es folgen Schritt für Schritt die Lösungen der
Ikosaederaufgaben vom 7.August unter dieser Rubrik
Zu Aufgabe 1.
Es gibt insgesamt 36 Diagonalen:
Davon haben sechs dieselbe Lange L und dreissig
dieselbe Länge l .
Gross L stimmt mit der Länge des Durchmessers der
Umkugel überein; für die Kantenlänge a des
Ikosaeders gilt somit nach früheren Arbeiten zu diesem Thema:
L = a / 2 * wurzel [ 2* (5 + wurzel(5) ]
Klein l stimmt mit der Diagonalenlänge im regulären Fünfeck
mit der Seite a überein, also:
l = a / 2 * ( wurzel(5) + 1 ) ; bekanntlich wird die Diagonale
des regelmässigen Fünfecks durch die Fünfeckseite a nach dem
goldenen Schnitt geteilt, die Fünfeckseite ist dabei der grössere
Abschnitt oder Major .
Zu Aufgabe 2
Für die Winkel alpha und beta gilt die Beziehung:
½ * alpha + beta = 180 °, wie man figürlichen Darstellungen
des Ikosaeders entnimmt.
Es genügt, den Winkel alpha zu berechnen.
Man erhält aus der Darstellung des Ikosaeders in Verbindung
mit einem umgeschriebenen Einheitswürfel :
(siehe meine letzte diesbezügliche Arbeit) :
sin(alpha/2) = u / wurzel(3) mit u = 1 / 2 * [wurzel(5)+1];
daraus erhält man: alpha ~138,19° und beta~110.91°.
Eine andere Methode liefert:
sin(alpa) = 2 / 3 ; daraus folgt als stumpfer Winkel wiederum
der obige Wert ; für beta kommt :
tan (beta) = - 1 / 2 * [ 3 + wurzel(5) ] ;
dies gibt netterweise das oben erwähnte Resultat !
Zu Aufgabe 3
a) Die sechs Hauptdiagonalen ; Drehwinkel phi = k*72° ,
k = 1,2,3,4,5 ( 30 Drehungen inklusive 6 mal die Identität)
b) Die zehn Verbindungsgeraden der Schwerpunkte der
Gegenflächen ; Drehwinkel psi = k* 120° , k = 1,2,3
( 30 Drehungen, wiederum 10 mal die Identität)
c) Die 15 Verbindungsgeraden der Gegenkantenkmittelpunkte;
Drehwinkel omega = k * 180° , k=1,2
(30 Drehungen ,davon 15 mal die Identität)
Zu Aufgabe 4
Wir addieren die Anzahlen der eigentlichen Drehungen aus
Aufgabe 3 und subtrahieren davon alle Identitäten bis auf eine
Wir erhalten mit z die Zahl der Elemente der Ikosaedergruppe:
z = 30 - 6 + 30 - 10 + 30 - 15 + 1 = 60
Die Ordnung der Ikosaedergruppe ist 60.
Damit sind alle Aufgaben gelöst,
vom Aufgabensteller himself
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. ! |
Nike
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:54: |
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Hi Simone,
hab zwar noch keine Potenzrechnung, aber villeicht funktioniert es ja so:
(Ich benutze statt 10 einfach x)
x0 = x-0 = 1/x0
Da also 1/x0 = x0 ist,
ist 1 = x02 = x0 |
Nike
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. August, 2000 - 19:59: |
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Tja, hab gerade gelesen, dass die Aufgabe schon gelöst wurde. |
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