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Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 11:06: | 
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Hi Kollegen,
wie kann ich die Simpsonregel herleiten und, wie kann ich dann mit ihr weiter eine Volumenformel für ein Faß her.
Das Faß soll eine eliptische Krümmung besitzen.
für Lösungsvorschläge wäre ich schon jetzt Dankbar!
Ciao
Niels |
Ralf
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 23:01: |
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Niels,
hast Du schon mal hier geschaut?
...Simpsonregel...
Ralf |
Anonymus
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 23:27: |
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Wer oder was ist die Simpsonregel? |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 09:57: |
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Die zu berechnende Fläche wird durch Teilflächen ersetzt, wo durch jeweils drei Punkte ein Parabelstück verläuft. A(d)=ca. d/3 *(yn + 4yn+1 +yn+2). d=xn+1 - xn.
Du müßtest also durch drei gegebene Punkte eine allgemeine Parabel legen (drei Parameter) Und die Fläche unter diesem Streifen berechnen, Integration, Ergebnis s.o. F. |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 10:00: |
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Darauf baut die KEPLERsche Faßregel auf. Es werden nur die zwei äußeren und der mittlere Punkt benutzt. (Aus der Querschnittsfläche durch Drehen das Volumen.) F. |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 10:34: |
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Hallo Ralf,
ja, habe ich.Aber ich habe nicht das richtige gefunden.
Für dich Anonym die Diffinition der simpsonschen Regel:
simpsonsche Regel:
Besitzt ein Körper parallele Grund und Deckflächen und hat jeder parallele Querschnitt in der Höhe xeinen Flächeninhalt, der Funktionswert einer ganzrationalen Funktion höstens 3. Grades von x ist, so gilt...
V=Höhe/6*(Grundfläche+Deckfläche+4*Mantelfläche)
Die simpsonsche Regel gehört neben den Satz v. Cavaleri und den guldinschen Regeln zu den wichtigsten Regeln der Stereometrie.
Ich füchrchte nur, das diese Formel ohne explizite Kentnisse der höheren Mathematik nicht herleitbar ist.
Wenn man diese Formel hergeleitet hat, dann sollte man gut und gerne in der lage sein folgende Formel für das Faßvolumen zu beweisen:
VFaß=ph/12*(2D²+d²)
wobei
D....Durchmesser des Mittelkreises (Mittelfläche)
d....Durchmesser der Grund und Deckflächen (Kreise)
Wie gesagt, wer die Herleitungen kennt. Bitte melden!
Ciao
Niels |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 10:53: |
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Hi Franz,
geht`s wirklich nicht ohne Integralrechnung?
Gruß N |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 11:16: |
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Hallo Niels,
wenn es unbedingt die SIMPSONsche Regel sein muß (es gibt ja auch andere Näherungsverfahren) und die noch hergelitten, dann muß die Fläche unter einer Parabel berechnet werden. Korrekterweise nur durch Integration. Oder Du vertuscht diese Stelle und nimmst irgendwoher die fertige Flächenformel?
Übrigens: Was ist von der Faß-Ellipse bekannt?
F. |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 12:33: |
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Hallo Franz,
gut, ich gebe mich geschlagen.
Was von der Faß-Elipse bekannt ist, willst du wissen?-Wie darf ich das verstehen?-
Nun ja,
h...Faßhöhe
D bzw R...Durchmesser bzw. Radius der Mittelfläche
d bzw r...Durchmesser und Radius der Grund und Deckfläche
Was nun der Unterschied zwischen einer sphärischen (elliptischen) und einer parabolischen Krümmung ist, weis ich nicht.
Fakt ist aber, das es für beide Krümmungsarten jeweils von einander verschiedene Formeln gibt.
Gruß N |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 18:00: |
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Hi Niels!
Bist Du sicher, dass die Simpsonsche Regel so richtig ist, wie Du sie geschrieben hast?
Ich habe mal in einem (zugegeben seeeeeeehr alten) Mathebuch nach der von Dir erwähnten Simpson-Regel gesucht und kam zu folgendem Ergebnis:
Das Volumen ist ungefähr V=Höhe/6*(Grundfläche+Deckfläche+4*(Querschnittsfläche in halber Höhe) )
In diesem Buch wurde die "Querschnittsfläche in halber Höhe" zwar mit dem Buchstaben M bezeichnet, aber sie ist nicht identisch mit der Mantelfläche.
Da ich nicht glaube, dass im Allgemeinen die Mantelfläche einer Tonne identisch mit der Querschnittsfläche in halber Höhe ist, würde ich Deine Version der Regel mal leicht hinterfragen wollen...
Soviel dazu.
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 19:26: |
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Hallo allerseits,
Natürlich ist M die Querschnittsfläche in halber Höhe des Fasses (= in der Mitte des Fasses).
Das Volumen ist genau gleich
(H/6)*(Grundfläche+Deckfläche+4M) falls jeder Querschnitt den Anforderungen, wie von Niels beschrieben, genügt.
Manchmal wird die Formel auch Keplersche Fassregel genannt. Der Kepler hat jedenfalls ein ganzes Buch über Fässer und ihre Formgebung geschriebn. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 21:28: |
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Na, der muss ja viel getrunken haben...:-)
Okay, dann macht die Regel Sinn, aber ob es möglich ist, sie OHNE Integrale nachzuweisen, weiss ich leider auch nicht...
Ciao
Cosine |
franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Juli, 2000 - 23:07: |
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Hallo allerseits, nach meiner Kenntnis handelt es sich um eine schlichte, an der praktischen Frage orientierten, Näherungsformel. Die parabolische Näherung wird etwas genauer sein als vielleicht Zylinder oder zwei zusammengesetzte Kegelstümpfe. Die tatsächliche Krümmung (elleptisch) spielt deshalb vermutlich keine Rolle; es wird die Mitte gemessen und nicht berechnet. F |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 08:01: |
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Hi Franz,
na, ich weis nicht ob die Krümmungen dabei so gar keine Rolle spielen....
Übrigens meine oben genante Formel ist keine Näherungsformerl.jedenfals wird sie nicht als Näherungsformel oder Faustformel bezeichnet.
Und wie gesagt, liegt eine parabolische Krümmung vor, dann muß eine andere Formel zitiert werden.
Gestattet ihr mir noch eine Frage zur Geschichte der Mathematik?
Soweit ich recht informiert bin lebte Johannes Kepler (1571-1630) ende 16.-fast mitte 17. Jahrhundert. Waren damals schon Integrale bekann?
Gruß N |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 09:01: |
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Hallo Niels, zur Berechnung bestimmter Integrale gibt es Näherungsverfahren: Zerlegung der gesuchten Flächen in Rechteck- oder Trapezstreifen oder Streifen mit parabelförmigem "Dach". Bei der KEPLERschen Faßregel wird genau das gemacht: näherungsweise Behandlung der Mantellinie als Parabel. Das dürfte für diesen praktischen Zweck genau genug sein. Es kommen ja noch andere Abweichungen (Innenvolumen u.a.) zum Tragen.
Sollte man diese Linie exakt kennen, meinetwegen als Ellipsenteil, braucht man natürlich keine Näherungsrechnung, sondern kann drauflos integrieren.
Den historischen Hintergrund kenne ich nicht, kann mir aber vorstellen, daß die Handhabung von Kegelschnitten geläufig war und auch die Approximation der Parabelfläche. Grenzwertbildung als Vorstufe des Integrierens. F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 09:41: |
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Hi Niels,
Du hast Recht: Kepler kannte noch keine Integralrechnung.
Ich vermute daher, dass er auch seine Fassformel nicht streng bewiesen hat. So wie er auch die berühmten Keplerschen Planetengesetze nicht bewiesen, sondern nur aus numerischen Beobachtungen (des Dänen Tycho Brahe) "erraten" hat.
Die Simpsonsche Regel ist im Allgemeinen eine Näherungsformel zur Bestimmung von Flächen unter einer Kurve. Dabei wird der x-Bereich in n Intervalle geteilt, jeder Streifen geschätzt und dann summiert.
Falls die Funktionskurve ein Polynom höchstens 3. Grades ist, so liefert die Formel genaue Werte.
Falls n=2 ist, also der x-Bereich in nur 2 Teile geteilt wird, erhält man die hier diskutierte Regel, die auch Kepler schon aufstellte.
Wenn man die Ordinaten der Kurve als Querschnittsflächen auffasst, so erhält man dadurch eine Volumsformel für Fässer.
Ähnlich der Simpson-Formel gibt es noch die "Rechtecksformel" und die "Trapezformel", die aber beide weniger gute Werte liefern.
Gruß,
Fern |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 11:02: |
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Hallo Fern,
wenn unser Freund Kepler die Fassformel nicht streng bewiesen hat, dann müßte doch auch für mich mit meinen bescheidenden mathematischen Künsten ein nicht ganz rein Mathematischer beweis möglich sein.
kennst du seine Beweisführung Fern?
Oder, zumindest könntest du dir sie vorstellen?
Das mit der "Trapezformel" und "Rechteckformel" war mir bekannt.(-Ich habe wohl zu viel Telekolleg Mathematik gesehen-;)
Das die simpsonsche Regel aber auch in den Bereich gehört ist mit neu.Ich dachte diese Formel beträfe rein die Stereometrie.
Noch eine Frage zur Geschichte der Mathematik:
Wer hat wann die Integralrechnung erfunden?
Währe für eine Antwort Dankbar.
Gruß N. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 12:27: |
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Hi Niels,
Methoden zur Bestimmung von Flächen gab es schon bei den Griechen, die der Integralrechnung ziemlich nahe kamen.
Dann gibt es Vorstufen bei Kepler, Cavalieri, Huygens und Descartes.
Der Durchbruch gelang erst durch Newton und Leibniz, die unabhängig voneinander, die Prinzipien der Differenzial- und Integralrechnung aufstellten.
Wer von den beiden nun der Erstentdecker war, ist und bleibt die große Streitfrage über die schon unzählige Bücher geschrieben wurden.
Leibniz publizierte seine Ergebnisse 1684, Newton fand seine Ergebnisse aber schon 1671, publizierte sie aber nicht, so dass der Streit bis heute anhält.
Gruß,
Fern |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 16:20: |
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Hi Niels!
Ich kenne zwar die Keplersche Beweisführung nicht, könnte mir aber vorstellen, dass es möglich ist, so eine Regel einfach durch Versuche aufzustellen.
Das Volumen eines Fasses kann man ja einfach ermitteln, indem man überprüft wieviel Liter Wasser hineinpassen. Nun wäre es möglich, dass er -auf der Suche nach einer Formel- per Zufall darauf gekommen ist, dass das Volumen gerade h/6(Grundfläche+Deckfläche+4*Schnittfläche in halber Höhe)
ist.
Das ist natürlich reine Vermutung. Keine Ahnung, ob's stimmt.
Ciao
Cosine |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 17:22: |
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Hallo Fern und Cosine,
Zu Fern:
Danke erstmal für die geschichtlichen informationen zur Integralrechnung.
Zu Cosine:
Ich finde experimentelle Beweise nicht besonders gut. Auserdem dachte ich nur, das man die simpsonsche regel zur herleitung braucht.
Es könnte ja auch sein, das sie nicht notwendig ist um das Fassvolumen zu berechnen.
Geht es vieleicht auch ohne simpsonsche Regel?
Bitte um überprüfung!
Gruß
Niels |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Juli, 2000 - 22:54: |
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KEPLER hat sich, im Zusammenhang mit optischen und astronomischen Forschungen, sehr gründlich mit der Infinitesimalrechnung und den Kegelschnitten befaßt. Weder die Formulierung der Planetebahnen noch jene Faßregel sind reine Zufallstreffer, sondern Frucht mathematischer Arbeit.
Die Berechnung der Volumina von Rotationskörpern (1615 Nova stereometria doliorum vinariorum) ging weit über das spezielle Faßproblem hinaus und fußte eindeutig auf Überlegungen der späteren Integralrechnung.
An Deiner Stelle, entschuldige die Abschweifung Niels, würde ich mich zur Ferienzeit in historische oder mathematische Literatur stürzen. So nützlich manche Hinweise an dieser Stelle für Einzelfragen sein mögen, ein systematischeres Studium ersetzen sie nicht.
Freundliche Gruß, Franz |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Juli, 2000 - 08:51: |
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Hallo Franz,
dann weis ich ja jetzt zu tun habe.
Danke Franz!
Gruß n. |
Nixda (Roody17m)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 16:51: |
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Hallo,
ich schreibe eine Facharbeit zum Thema "alternative Flächenbrechnung" am Beispiel der Simpson-Methode (oder Tapezmethode).
Ich würde mich sehr über eine Erklärung des Verfahrens oder auch sonst über Mat(h)erial freuen!
Wenns geht möglichst schnell!
Didi |
anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 15:41: |
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Hi Nixda,
Bitte bei neuen Fragen immer einen neuen Beitrag öffnen! |
Marius (Neo_Greek)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. März, 2001 - 16:20: |
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Hallo!
Wie berechnet man mit Hilfe der ELIPSENGLEICHUNG ein Fass(Bierfass)?
geg: Höhe des Fasses
Durchmesser in der Mitte
Durchmesser der Grund- und Deckfläche
Danke! |
homer simpson
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 02:52: |
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wenn das fass vom schnitt her einer ellipsengleichung genügen soll, dann setze man
an:
y^2/a^2+x^2/b^2=1
für den durchmesser in der mitte setzt man x=0.
y=a=rm (halber durchm.in der mitte)
für den radius oben und unten setze man x=+-h/2
und y=ro, dann ist:
(ro/rm)^2+(h/2)^2/b^2=1, was man dann nur noch nach b aufzulösen braucht.
das vol. des rot.körpers ist dann I.(von -h/2 bis +h/2)y^2dx
mit y=a*(1-x^2/b^2)^.5 |
Sandra
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 17:01: |
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Hallo, wie leitet man die keplersche fassregel her? A=b-a/6*(f(a)+4f(a+b/2)+f(b)) Danke |
Gerold
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. März, 2001 - 20:14: |
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Hallo Sandra,
Bitte hänge neue Fragen nicht an andere dran! |
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