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Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 10:46: | 
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Hallo Kollegen!
Wie kann ich die Oberflächen und Volumenformel
Für
a)Kugelausschnitt (Kugelsektor)
b)Kugelabschnitt (Kugelsegment)
c)Kugelschicht (Kugelzone)
d)Kugelkappe
herleiten?
Danke im Voraus!
Ciao
Niels |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 12:10: |
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Hallo Niels, als Skizze:
r Kugelradius
R Kreisradius Segment und analog
h Höhe Segment und analog
A Mantelfläche
phi.Polarwinkel/gegen die Mittelsenkr./z-Achse
ds.Kurvenelement auf Oberfläche
Segment Mantel: Zerlegung in Scheiben senkrecht z, deren Rand ds ds=r*dphi, Streifenfläche dA=2piR*ds, R=r*sin(phi), cos(phiR)=(r-h)/r A=2pi*r²INTEGRAL[0..phiR]sin(phi)dphi = 2pir²(1-cos(phiR)) = 2pi*r*h
Sektor Volumen: Proportional der Mantelfläche des entsprechenden Segments V=2pi*r*h/4pi*r² *4/3 pi*r³ = 2/3 pi*r 2*h
Mit dem entsprechenden Kegel dann das Segment-Volumen usw. Gruß, F. |
Niels
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 12:38: |
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Hallo Franz,
Danke für den Löszungsversuch, ich habe da aber trotzdem noch einige Fragen an dich:
Erstens:
ich komme erst in die 11.Klasse, d.h. Ich kenne weder Integrale, Polarkoordinaten noch "kurvenelemente".
Das muß doch im Rahmen der bescheidende mathematischen Künste eines 10. Klässlers möglich sein diese Formel herzuleiten oder?
zum Sektorvolumen:
Ich verstehe nicht, wie du da eine Proportionalität erkennst.
Was meinst du mit Kegel usw.?
Ach und noch etwas Franz:
könntest du nächstes mal zu deinen Ausführungen eine kleine Grafik mitliefern?
Ich wäre dir sehr Dankbar dafür!
Danke Franz!
Ciao
Niels |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 13:16: |
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Hallo Niels, die grundlegenden Skizzen, Bezeichnungen und Ergebnisse findest Du sicher in einer entsprechenden Formelsammlung. Was die verlangte Herleitung angeht, so nehme ich stark an, daß es ohne Integration strenggenommen überhaupt nicht geht; noch nichtmal bei der Kreisfläche oder dem Kugelvolumen. (Vielleicht gibt es Plausibiltäten, mit den beiden Sachen als Voraussetzung ...?)
ds meint quasi folgendes: die Randbreite (nicht Dicke) einer dünnen Melonenscheibe.
Das Volumen des Kugelsektor kann man sich aus kleinen Stiften/Pyramiden oder ähnliches zusammengesetzt denken, Spitze im Mittelpunkt, Höhe r, Grundfläche dA auf der Kugeloberfläche, dV=1/3 *dA*r. r konstant, also V ~ A (Mantelfläche des zugehörigen Kugelsektors). Da diese Fläche vom Kugelsegment her schon bekannt ist, kann man daraufhin das gesuchte Volumen bestimmen: V(sekt)/A(sekt) = V(voll)/A(voll) -> v(sekt).
Für die weiteren Körper benötigt man noch den dazugehörigen Kegel (hat wohl keinen eigenen Namen): Mantellinie=r; Grundkreis R, Höhe r-h. Dessen Berechnung ist ja weniger problematisch.
In der Hoffnung, daß sich ein leichteter Weg findet (per aspera ad astra..), Franz |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Juli, 2000 - 19:22: |
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Nach schwacher Erinnerung (CAVALIERI?) kann man per Trick das (Halb-)Kugelvolumen bestimmen = umschreibender Zylinder - innerer Kegel. Wenn für eine dieser Figuren (Segment?) was ähnliches möglich wäre, könnte man Deine Frage vielleicht so aufrollen. Volumen -> Mantelfläche usw. ?? Am besten mal etwas rumspielen mit den Lösungsformeln.. ;-) Gruß Franz |
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