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Melania
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 00:22: | 
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Wie errechne ich Symmetrie, Wendepunkte, Grenzwerte (lim f(x) fuer x gegen plus und minus unendlich) und Extremwerte, wenn ich folgende beiden Funktionen gegeben habe:
f(x)= x^3+3x^2-9x-22
f(x)= x^3+4x^2-3x-18 ???
Und kann mir vielleicht jemand sagen, was man bei
"Herbeileitung über Differenzeinquotientengrenzwertbestimmung" von mir wissen will? Davon habe ich noch nie etwas gehoert?
Danke vielmals demjenigen, der mir hilft! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 22:24: |
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Hi Melania (Ist der Name wirklich so oder 'n Tippfehler?)
Egal:
Symmetrie:
Bei Kurvendiskussionen interessieren nur zwei Arten von Symmetrie: Achsen-Symmetrie zur y-Achse oder Punkt-Symmetrie zum Urspung O(0,0)
Bei ganzrationalen Funktionen (die beiden, die Du da hast, sind ganzrational) kann man diese Symmetrie ganz einfach erkennen:
Wenn nur gerade x-Exponenten vorkommen, sagt man die Funktion ist gerade, d.h. symm. zur y-Achse.
(z.B: y=x^4-3x^2+4 oder y=-5x^2 oder y=x^8-x^4+x^2)
ACHTUNG: x ohne Exponent gilt als x^1, also ungerade
Wenn nur ungerade x-Exponenten vorkommen, sagt man die Funktion ist ungerade, d.h. symm. zum Urspung.
(z.B: y=x^3-3x oder y=-5x^3+x oder y=x^7-x^3+x)
ACHTUNG: konstante Terme, wie +2 oder -3 oder so gelten als 2*x^0 und sind damit gerade!
Wie dem auch sei: Deine beiden Funktionen sind weder ungerade, noch gerade, d.h. weder Symm. zum Urspung noch zur y-Achse. (Nebenbei: Es wäre falsch, zu sagen, sie sind überhaupt nicht symmetrisch, da wir ja nur auf Symm. zu y-Achse und Urspung untersucht haben)
Der Grenzwert für x-> +/- unendlich von ganzrationalen Funktion ist sehr einfach:
Wenn x immer größer wird, ist nur der x-Term mit dem größten Exponenten entscheidend und alle anderen können vernachlässigt werden. In Deinen beiden Fällen wäre das also x^3. So, was passiert nun, wenn x->+unendlich strebt, d.h. immer größer wird? x^3 wird ebenfalls immer größer. Also lim f(x) für x->unendlich = +unendlich für beide Funktionen.
Für -unendlich machen wir es genauso und betrachten ebenfalls nur x^3: Wenn x nun negativ ist und betragsmäßig immer größer wird, strebt alles ebenfalls gegen -unendlich. Und zwar deshalb, weil x^3=x*x*x ist und Minus*Minus*Minus=Minus ist. Anders formuliert: x^4 würde auch bei x->-unendlich gegen +unendlich streben, weil Minus*Minus*Minus*Minus=Plus ist.
Es ist nett, dass keine Nullstellen gefragt sind, die wären nämlich kompliziert.
Für Extrem- und Wendepunkte müssen nun die Ableitungen berechnet werden. Normerweise genügen die ersten 3 Ableitungen. Kriegst Du das hin?
Ich zeige mal die erste Ableitung der oberen Funktion: f(x)=x^3+3x^2-9x-22 => f'(x)=3x^2+6x-9
Man kann also bei einer Summe wie dieser jeden Term für sich ableiten. Summanden ohne x (wie hier -22) fallen einfach weg.
Nun setzen wir die erste Ableitung Null, um Extremstellen zu bestimmen:
3x^2+6x-9=0
beide Seiten durch 3:
x^2+2x-3=0
pq-Formel:
x_1/2 = -1 +- Wurzel(1+3)=-1 +- 2
=> x_1 = -3 und x_2 = +1
Das sind nun mögliche Extremstellen. Um Gewissheit zu haben, ob es wirklich welche sind, und um zu wissen, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind, setzen wir nun (-3) und (+1) in die 2.Ableitung ein. Wenn die 2.Ableitung an diesen Stellen positiv ist, dann ist ein Tiefpunkt, ist sie negativ, ist ein Hochpunkt.
Die y-Werte der Hoch- und Tiefpunkte erhält man nun durch Einsetzen der x-Werte (-3) und (-1) in die Ausgansfunktion.
Wendepunkte gehen sehr ähnlich, nur dass man die 2.Ableitung Null setzt und nach x auflöst, statt der 1. Bei Deinen Funktionen müsstest Du genau einen x-Wert herausbekommen. Das ist dann eine mögliche Wendestelle. Um Gewissheit zu haben, muss diese nun (ganz formal) in die 3.Ableitung einsetzen. Wenn diese nun nicht 0 ist, dann ist es eine Wendestelle.
(Bei Parabeln 3.Ordnung ist die 3.Ableitung nie 0)
Hat man nun seine Wendestelle (=x-Wert), so erhält man den dazugehörigen y-Wert wieder durch Einsetzen ein die Ausgangsfunktion.
(Tip, um sein Ergebnis zu überprüfen: Bei Parabeln 3.Ordnung befindet sich der Wendepunkt immer in der Mitte der beiden Extrempunkte, d.h. sowohl x- als auch y-Werte müssten genau dazwischen liegen.)
Ich hoffe, das reicht, um die oben genannten Aufgabenstellungen für die beiden angegebenen Funktion zu bearbeiten.
Deine zweite Frage: Die Ableitung einer Funktion ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten, d.h. was man bei dieser Aufgabenstellung von Dir will, ist dass Du die Ableitung einer Funktion nicht mit Hilfe der Ableitungs-Regeln, sondern direkt über die Definition der Ableitung berechnest.
Als Beispiel könnte man also die Ableitung von x^3 berechnen: Wir wissen ja bereits, dass das Ergebnis 3x^2 sein muss, aber das kann man auch ganz formal herleiten:
Die 1.Ableitung ist definiert als der Grenzwert:
f'(x)=lim für h->0 von (f(x+h)-f(x))/h
Wenn nun h->0 geht, so geht der Zähler dieses Bruches gegen f(x+0)-f(x)=0, der Nenner h geht ebenfalls gegen 0 und wir würden den Fall 0/0 erhalten. Solange wir den 0/0 Fall haben, müssen wir den Bruch umformen, bis es kein 0/0 Fall mehr ist, d.h. in diesem Fall: das h aus dem Nenner muss irgendwann weggekürzt werden.
Da in meinem Beispiel f(x)=x^3 ist, könnte man das also so machen:
f'(x)=lim für h->0 von (f(x+h)-f(x))/h
=lim für h->0 von (x+h)^3-x^3)/h
=lim für h->0 von (x+h)(x+h)(x+h)-x^3)/h
=lim für h->0 von (x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3)/h
Das x^3-x^3 hebt sich weg und es bleibt:
=lim für h->0 von (3x^2h+3xh^2+h^3)/h
Wir haben zwar immernoch einen 0/0 Fall, wenn wir h->0 streben lassen, aber wir sind nun soweit, dass jeder Summand im Zähler mindestens ein h dabeihat und wir ein h ausklammern können, das wir dann mit dem h im Nenner wegkürzen können.
=lim für h->0 von h*(3x^2+3xh+h^2)/h
=lim für h->0 von (3x^2+3xh+h^2)
Nun haben wir keinen 0/0 Fall mehr, weil das h im Nenner weg ist und wir können h->0 gehen lassen und erhalten:
=(3x^2+3x*0+0^2)=3x^2
Und das war das, was wir herausbekommen haben.
Du siehst, so kann man die Ableitung jeder Funktion herleiten, wenn es auch sehr viel Schreibarbeit erfordert. Beachte: Das war nur die ganz einfache Funktion f(x)=x^3. Ich befürchte, man verlangt von Dir, dass Du die Ableitung von einer der oberen komplizierteren Funktionen so herleiten kannst. Das geht zwar ganz genauso, ist aber noch mehr zu schreiben. Du kannst es ja mal versuchen. Ich mache es nicht, bevor ich nicht weiß, dass es wirklich gefragt war.
Falls Du noch irgendwelche Fragen hast, lass es mich (oder sonst jemanden hier) wissen!
In diesem Sinne
Viel Spaß
Cosine |
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