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Stammfunktion berechene

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Integralrechnung » Integral/Stammfunktion » Archiviert bis 04. September 2002 Archiviert bis Seite 52 » Stammfunktion berechene « Zurück Vor »

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Julia (cherie)
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Neues Mitglied
Benutzername: cherie

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:05:   Beitrag drucken

Hallo,
ich habe heute folgende Aufgabe bekommen:
Berechnen Sie unter genauer Angabe der jeweiligen Integrationsregeln eine Stammfunktion F(x) zu f(x).
a) f(x)= (-2x+3)^6
b) f(x)= 2x sin(x)+x^3
c) f(x)= x exp(x^2)
d) f(x)= (2x-4)/(2x^2-8x)

Also ich weiss gar nicht wie ich jetzt da ran gehen soll.. Mir würden also schon Ansätze helfen, wenn mir die jemand nennen kann..
Und was ist dieses exp(x^2).. Kann mir da zwar was denken, aber bin total verunsichert... ;o)
Wäre also nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...
Achja, hier ist auch noch so'ne Aufgabe, aber die kann ich hier nicht eingeben... Es sei denn es gibt irgend eine Möglichkeit diese Symbole hier einzufügen..?

Liebe Grüße und danke im Voraus -
Cherie
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Christian Schmidt (christian_s)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 381
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 14:17:   Beitrag drucken

Hi Julia

a) Substitution z=-2x+3
dz/dx=-2
=>
F(x)=ò(-2x+3)^6 dx=-1/2*òz^6 dz=-1/14*z^7=-1/14*(-2x+3)^7

b) Den Teil 2x*sin(x) mit partieller Integration.
u'=sin(x)
v=2x

F(x)=ò2x*sin(x) dx +òx^3 dx
=-2x*cos(x)+2*òcos(x) dx +1/4*x^4
=-2x*cos(x)+2sin(x)+1/4*x^4

c)
exp(x)=e^x
Vielleicht ist dir das bekannt. Ableitung von e^x ist übrigens wieder e^x.

Hier musst du wieder Substitution anwenden.
z=x^2
dz/dx=2x

F(x)=òx*exp(x^2) dx=1/2*ò exp(z) dz
=1/2*exp(z)=1/2*exp(x^2)

d)
Wieder Substitution:
z=2x^2-8x
dz/dx=4x-8=2(2x-4)

ò (2x-4)/(2x^2-8x)dx
1/2*ò (2x-4)/((2x-4)*z)dz
=1/2*ò1/z dz
=1/2*ln(z)
=1/2*ln(2x^2-8x)


Hier findest du übrigens die meisten Symbole:
http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/discus.cgi?pg=formatting

MfG
C. Schmidt
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Klaus (kläusle)
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Benutzername: kläusle

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 14:18:   Beitrag drucken

Hallo Julia,

a) F(x)=-1/14*(-2x+3)^7
(Lineare Integration)
b) Durch Produktintegration:
nach der Regel
Integral(u'v)=[uv]-Integral(uv')
setze u'=sin(x) und v=x
dann ist u=-cos(x) und v'=1
Lösung: Die Stammfunktion lautet:
F(x)=-x*cos(x)+sinx
c) Weiß nicht, was damit gemeint ist...
d) Durch Umformen erhältst du:
f(x)=1/2*(2x-4)/(x^2-4x)
Da im Zähler die Ableitung des Nenners
steht, kannst du mit Hilfe von ln integrieren:
F(x)=1/2*ln|x^2-4x|

Gruß Klaus
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Julia (cherie)
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Benutzername: cherie

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 20:08:   Beitrag drucken

Danke erst mal für die Antworten!!! hat mir sehr weitergeholfen!!!
Ich hab jetzt auch rausgefunden, wie ich den Rest darstellen kann:
òa b ln(x) dx=[x ln(x)-x](intervall a,b), a, b > 0

òa b sin(x) sin(x) dx = [½ (x-sin(x) cos(x))] (intervall a,b)

Das ganze soll unter Ausnutzung der partiellen Integration nachgewiesen werden! Also ich hab keinen Schimmer und freu mich daher über Hilfe... ;o)

Liebe Grüße - julia
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brainstormer (brainstormer)
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Moderator
Benutzername: brainstormer

Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 04-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 21:14:   Beitrag drucken

Tach,

zu dem ersten wirst du mit Sicherheit im Internet einiges finden, deshalb hier in aller Kürze:

òa bln(x)dx = òa b1*ln(x)dx

Hier muss man ganz einfach partiell integrieren:

u = ln(x) => u'= 1/x
v'= 1 => v = x

òa bln(x)dx = [x*ln(x) - ò 1*dx][a;b]

= [x*ln(x) - x] [a;b]

beim zweiten wendest du ebenfalls partielle Integration an, es gibt in diesem Forum min. 2 Beiträge, in denen ich das schon en detail erklärt habe.

MfG,
Brainstormer
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Julia (cherie)
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Benutzername: cherie

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 02. September, 2002 - 20:46:   Beitrag drucken

Hm, ich hab jetzt erstmal eine kleine Frage... Und zwar betrifft das die erste Aufgabe Teil a)

In dem Posting von Christian kommt dann irgendwann ein "-1/2" vor und ich weiss nicht woher das kommt... Wäre über eine kleine Erklärung sehr dankbar, auch wenn es wahrscheinlich viel zu einfach ist und ich es nur nicht sehe...

Liebe Grüße - Julia
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brainstormer (brainstormer)
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Benutzername: brainstormer

Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 04-2001
Veröffentlicht am Montag, den 02. September, 2002 - 23:04:   Beitrag drucken

Tach,

das "-1/2" ergibt sich aus der Differentialanpassung bei der Substitution:

dz/dx = -2 => dx = (-1/2)*dz

MfG,
brainstormer

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Julia (cherie)
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Benutzername: cherie

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 11:22:   Beitrag drucken

Hm, und woher kommt das dz/dx?..
Sorry, aber ich hab das noch nie gemacht.. ;o)
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DULL (dull)
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Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 14:19:   Beitrag drucken

Hi Julia!

Das dz/dx sollte dir aus den Anfängen der Differentialrechnung bekannt vorkommen (Differentialquotient).

Wenn du eine Funktion z=... hast, dann ist die Ableitung z'=lim(x->x0)(z-z0)/(x-x0)
Diesen Grenzwert bezeichnet man auch durch dz/dx. Also bedeutet das dz/dx die Ableitung von z. es ist vielleicht nicht so ganz leicht sich zurückzuerinnern. Mache dir das alles am besten mit der Steigung einer Tangenten an einen Graphen klar...

Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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DULL (dull)
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Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 14:22:   Beitrag drucken

Hi Julia!

Das dz/dx sollte dir aus den Anfängen der Differentialrechnung bekannt vorkommen (Differentialquotient).

Wenn du eine Funktion z=... hast, dann ist die Ableitung z'=lim(x->x0)(z-z0)/(x-x0)
Diesen Grenzwert bezeichnet man auch durch dz/dx. Also bedeutet das dz/dx die Ableitung von z. es ist vielleicht nicht so ganz leicht sich zurückzuerinnern. Mache dir das alles am besten mit der Steigung einer Tangenten an einen Graphen klar...

Gruß, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Julia (cherie)
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Benutzername: cherie

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. September, 2002 - 17:26:   Beitrag drucken

Ja, das hatte ich mitlerweile auch wieder erkannt, aber trotzdem danke für deine Erklärung!
Also setze ich das dx = (-1/2)*dz einfach ein, wenn ich durch z ersetze?!?
Hm, das -1/14 verstehe ich auch schon wieder nicht wo das herkommt...
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brainstormer (brainstormer)
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Moderator
Benutzername: brainstormer

Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 04-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. September, 2002 - 21:02:   Beitrag drucken

Tach,

das -1/14 ergibt sich aus dem Produkt von

(-1/2)*(1/7)

die 1/7 kommen von der Stammfunktion zu z^6:

ò z6dz = (1/7)*z7 + C

MfG,
brainstormer

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