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Beitrag |
    
Annette
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Juli, 2002 - 18:35: | 
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Hallo!
Wer kann mir erklären,wie man zur Stammfunktion von f(x)=x/(x²+t)
[von 0 bis Wurzel(3t)
Danke
Annette |
Archimedes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Juli, 2002 - 20:29: |
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Hi Annette!
Wenn du dir den Bruch genauer ansiehst, dann stellst du fest,
dass der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist.
Das ist für die Integration sehr günstig, denn nun
können wir logarithmisch integrieren:
ò x/(x²+t)dx = 1/2*ò 2x/(x²+t)dx = 1/2*ln(x²+t)
Das ist die Stammfunktion, in du jetzt nur noch
die Grenzen einsetzen musst.
Ciao, Archimedes |
Annette
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 18:14: |
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Danke,
doch ich verstehe nicht,wie man logarithmisch integriert.Kannst du mir die einzlnen Schritte bitte erklären.
Danke
Annette |
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 20:20: |
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Hi Annette,
logarithmisch integrieren funktioniert folgendermaßen:
Die Ableitung von log(x) ist 1/x.
Das heißt, die Ableitung von log( f(x) ) wird mit der Kettenregel zu f'(x) / f(x).
Daher sieht man, dass das Integral eines Bruches, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, der Logarithmus vom Nenner ist.
z.B. ist sin'(x)=cos(x).
Damit ist ò cos(x)/sin(x) = log( sin(x) ).
In deinem Beispiel schreibt man den Bruch x/(x²+t) einfach als 1/2 * 2x/(x²+t).
Mit (x²+t)'=2x ist das Integral davon also
1/2 * log( x² + t ) |
Archimedes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. August, 2002 - 18:48: |
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Hi Annette!
Man könnte diesen Sachverhalt auch in Worten
ausdrücken:
Wenn der Zähler-Term die Ableitung des Nenner-Terms ist,
dann ist die Stammfunktion der natürliche Logarithmus des Nenner-Terms.
In deinem Beispiel war der Zähler allerdings nicht
genau die Ableitung des Zählers, sondern ein
Vielfaches davon. Deswegen musste man den
Zähler so "hinbiegen", dass er
der Ableitung des Nenners entspricht.
Ciao, Archimedes |
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. August, 2002 - 18:59: |
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Hi Annette und die anderen
Vielleicht nochmal ein bißchen ausführlicher mit Substitution und allem. Dann sieht mans vielleicht etwas besser.
òx/(x²+t)dx =1/2*ò2x/(x²+t)dx
Jetzt Substitution:
z=x²+t
dz/dx=2x
dx=dz/(2x)
Einsetzen:
1/2*ò2x/(x²+t)dx=1/2*ò1/z dz=1/2*ln(z)
Rücksubstitution:
1/2*ln(z)=1/2*ln(x²+t)
Ich weiss, dass Archimedes das im Prinzip genauso gemacht hat. Nur ist das direkte logarithmisch Integrieren vielleicht etwas unübersichtlich. Hat man erstmal 1/z da stehen und soll das integrieren, so sieht man die Stammfunktion im Prinzip sofort.
Meine Lösung dient also nur noch zum besseren Verständnis.
MfG
C. Schmidt
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