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Jeanine (jeanine)
Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 12:35: | 
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Kann mir mal jemand erklären wie dass so abläuft mir den siunus- und kosinusfunktionen?
und wie kommt es dass z.B bei 0° der sin 0 und der cos 1 ist? oder bei 90° der sin 1 und der cos 0 ist?
Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte. ich komme hier gar nicht weiter. |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 636
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Mai, 2002 - 14:15: |
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Hi Jeanine!
Man kann die trigonometrischen Funktionen einfach oder kompliziert definieren. Ich mache das mal einfach:
Betrachte mal einen Kreis mit dem Radius 1 (Einheitskreis), dessen Mittelpunkt der Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems ist.
Es ist klar, dass dieser Kreis die beiden Achsen jeweils bei 1 und -1 schneidet.
Nun waehle einen beliebigen Winkel alpha und zeichne einen Radius in diesen Kreis ein, der mit der positiven x-Achse eben diesen Winkel einschliesst.
Dieser Radius schneidet den Kreis im Punkt S(x,y).
Wenn du nun die Koordinaten abliest (Lote auf die Achsen errichten und Koordinaten ablesen), dann bekommst du:
x = cos alpha
y = sin alpha
Waehlst du nun einen Winkel von 0 Grad, dann liegt der Radius auf der x-Achse und schneidet so den Einheitskreis im Punkt S\-(0}(1 | 0).
Wir koennen also nach obigen Beziehungen direkt angeben:
x = 1 = cos (0 Grad)
y = 0 = sin (0 Grad)
Entsprechend kannst du das mit dem 90Grad-Winkel machen: Dann liegt dein Radius auf der y-Achse und der Schnittpunkt mit dem Einheitskreis ist nun: S90(0 | 1). Also gilt demnach:
x = 0 = cos (90 Grad)
y = 1 = sin (90 Grad)
Das war nur eine schnelle Erklaerung ohne jegliche Formalitaeten. Die Beziehungen beruhen darauf, dass in diesem Kreis der Radius konstant ist (= 1) und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bildet.
Nun ist der Sinus definiert als der Quotient
Gegenkathete / Hypotenuse,
was in diesem Fall genau der y-Koordinate entspricht.
Da der Kosinus definiert ist als der Quotient
Ankathete / Hypotenuse,
was in diesem Fall genau der x-Koordinate entspricht.
Nach Pythagoras ergibt sich dann die Beziehung:
x2 + y2 = 1,
also:
cos2alpha + sin2alpha = 1,
aber das nur so am Rande...
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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Jeanine (jeanine)
Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 12:49: |
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Danke für die erklärung. Es hat mir sehr geholfen. |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 643
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 18:51: |
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Gern geschehen!
Natürlich soll es jedesmal statt alpha nur a heißen, denn der Browser, mit dem ich das geschrieben habe, kannte wohl kein griechischen Alphabet.
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 23:49: |
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Hallo Martin,
habs mal kurz überflogen, ist glaub ich alles O.K. Nur eins interessiert mich:
Wie kann man die trigonometrischen Funktionen komplizierter einführen (ohne den Einheitskreis). Kennst du schon die analytische Defintion:
sin(x):=Im(e^(ix))
cos(x):=Re(e^(ix))
? ( ist das wirklich komplizierter ? Naja...)
Oder wie gehts komplizierter ? Über Dreiecke ?
PS: Das ist keine Anspielung, interessiert mich echt !
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 645
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 13:50: |
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Hi STEVENERKEL!
Das ist wirklich komplizierter, denn in der 8.-10. Klasse kennt man doch keine komplexen Zahlen. Und bevor ich alles umschreiben muss, führe ich das Ganze lieber mit dem Einheitskreis durch.
Außerdem bringt es in der Mittelstufe wirklich nicht viel, die trogonometrischen Funktionen mit Hilfe unendlicher Reihen einzuführen, die nichts mit den Dreiecken zu tun haben, für die man sie braucht.
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 16:31: |
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Hallo Martin,
du hast mich mißverstanden oder ich hab mich falsch ausgedrückt. Ich wollte nur wissen, ob es eine andere (kompliziertere) Methode gibt, außer die analytische (die ja in der Schule nicht geht). Selbstverständlich hat das nix in der Mittelstufe zu suchen, denn wie soll man da mit Vektoren rechnen, wenn man gar nicht weiß, was Vektoren sind (zum besseren Verständnis der komplexen Zahlen). Und die e-Funktion fehlt (zumindest auf einigen Schulen), und und und...
Ich selber finds genauso einfach, wie deine "Def." der trig. Funktionen. Naja, ob ich das im 8en bis 10en Schuljahr auch so empfunden hätte ? Ich weiß nicht...
Also, ich stell die Frage nochmal:
Gibt es (mit den Mitteln der 8en bis 10 Klasse) eine kompliziertere Möglichkeit, die trigonom. Funktionen einzuführen ?
PS: Für die Schule ist die deinige meiner Ansicht nach die einzige vernünftige; ich kenn auch gar keine andere, die dies in der Schule ermöglichen würde, oder gibt es doch andere Möglichkeiten ?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 648
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 22:08: |
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Nö, ich glaube nicht, dass es viel komplizierter geht, wenn man innerhalb der Möglichkeiten bleiben möchte.
Ich kenne das nur entweder mit dem Einheitskreis oder mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck.
Ich finde auch, dass es auch nur so Sinn macht, denn hier sieht man am besten, dass die Seiten eines Dreiecks in einer bestimmten Beziehung stehen stehen, die man durch Funktionen der Winkel ausdrücken kann, also Winkelfunktionen.
Mehr würde ich wirklich nicht verlangen...
MfG
Martin
Die Mathematik ist das Alphabet,
mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
Galileo Galilei
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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 23:06: |
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Hallo Martin,
okay. Dachte nur weil du schriebst:
>Man kann die trigonometrischen Funktionen einfach oder kompliziert definieren. Ich mache das mal einfach:
...
Deshalb wollte ich wissen, ob es noch eine "schulmathematische" Definition gibt, die ich noch nicht kenne. Mit Dreicken hat man immer das Problem bei Winkeln über 90°: Warum sollte dann der Kosinus negativ werden ? Sonst sind die Längen eines Dreiecks ja auch immer positiv. Und der Winkel wird falsch gedeutet... Am Einheitskreis im KO-System ist das klar; eben wegen dem Koordinatensystem.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
Jt2712 (Jt2712)
Junior Mitglied
Benutzername: Jt2712
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. September, 2005 - 15:06: |
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Aufgabe:"suche sin.alpha von 32°17`und Winkel alpha von 0,4965"Bin für jede Hilfe dankbar!!! |
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