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Rene
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2000 - 21:11: | 
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Wer kann mir helfen?
geg.: Kegel mit h=500mm / d=400mm
Der Kegel steht auf ser Spitze und in denm Kegel befindet sich eine Kugel mit größtmöglichem Durchmesser.Frage:Wie groß ist das Restvolumen des Kegels? |
reinhard
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2000 - 22:43: |
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Hallo Rene!
Wenn du dir eine Skizze des Kegels von der Seite machst, dann ist das ein gleichschenkeliges Dreieck, und die größtmögliche Kugel darin ist der innkreis dieses Dreiecks. Da dieses Dreieck eben gleichschenkelig ist, liegt der Innkreismittelpunkt (=Schnittpunkt der Winkelsymetralen) auf der Höhe. Wir können uns den Radius des Innkreises also leicht berechnen:
Das gleichschenkelige Dreieck wird durch die Höhe in zwei rechtwinkelige Dreiecke geteilt, wobei die eine kathete die Höhe und die andere Kathete die halbe Basis ist. Im Punkt A hat es den Winkel alpha (ein Winkel an der Basis). Diesen können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(alpha)=Höhe/halbe Basis = 500/200
alpha = 68,199°
Das rechtwinkelige Dreieck, das die Winkelsymetrale mit der Höhe und der halben Basis bildet, hat beim Punkt A den Winkel alpha/2 (eben wegen der Winkelsymetrale). Weiters ist die eine Kathete die halbe Basis, die andere Kathete ist aber der Innkreisradius.
tan(alpha/2)=r/200
r=tan(alpha/2)*200=135,4mm
Das Dreieck war nur ein zweidimensionale Durchschnitt. Beim Kegel heißt das, die eingeschriebene Kugel mit dem größtmöglichen Durchmesser hat einen Radius von 135,4mm und damit ein Volumen von 4pr³/3 = 10399394mm³
Der ganze Kegel hat ein Volumen von
Grundfläche*Höhe/3=(d/2)²ph/3=20943951mm³
Damit ist das Restvolumen 20943951-10399394=10544557mm³
Reinhard |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 09:02: |
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Hallo, Reinhard, gestatte bitte eine kleine Anmerkung - zur Verbindung mit dem Schulstoff: Beim zweiten Dreieck ist die Gegenkathete (=Höhenabschnitt) zu alpha/2 deswegen Inkreisradius, weil sich die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt schneiden. |
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