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Beitrag |
    
tara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 13:53: | 
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hi! ich brauche ganz dringend die herleitung für die oberflächenformel und das volumen eines oktaeders.
schon mal danke im voraus |
Andi (andreas_)
Mitglied
Benutzername: andreas_
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 19:36: |
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Hallo Tara!
Zuerst leiten wir die Oberflächenformel her:
Die Oberfläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a.
Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ist:
A=(a²*W(3))/4
(W...bedeutet Wurzel aus)
Da wir dieses Dreieck 8 mal haben müssen wir diese Formel mit 8 multiplizieren. Dabei kürzt kann man 8 und 4 kürzen:
O=(8*a²*W(3))/4
=>O=2*a²*W(3)
Jetzt noch das Volumen:
Wir zerlegen den Oktaeder in 2 Pyramiden mit quadratischer Grundfläche. Der Mantel besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a. Wir berechnen nun die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreiecks mit der Formel:
h(a)=(a*W(3))/2
Nun haben wir ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Hypotenuse diese Höhe h(a) ist, die eine Kathete ist die halbe Seite a der quadratischen Grundfläche und die andere Kathete ist die Höhe h der Pyramide. Mit dem Satz von Pytagoras können wir die Höhe h der Pyramide ausrechnen:
h=W(h(a)²-(a/2)²)
Für h(a) setzen wir von der Formel von oben (a*W(3))/2 ein.
=>(a/2)²=a²/4
h=W(((a*W(3))/2)²-(a²/4))
h=W((a²*3)/4-(a²/4))
h=W((2*a²)/4)
h=W(a²/2)
h=a/W(2)
Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist:
V=(a²*h)/3
Für h setzen wir die Formel von oben ein:
V=(a²*(a/W(2)))/3
V=a³/(W(2)*3)
Da der Oktaeder aber aus 2 solchen Pyramiden besteht multiplizieren wir diese Volumensformel mit 2:
V=(2*a³)/(W(2)*3)
V=(a³*W(2))/3
Damit es deutlicher ist, hier die Herleitung auf einem Zettel:
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen, obwohl es etwas kompliziert ist.
Liebe Grüße -
Andi |
Maren (maha)
Neues Mitglied
Benutzername: maha
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 20:07: |
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Hallo tara,
weißt du, wie ein Oktaeder aussieht?
Vor ein paar Monaten hab ich hier mal ein Bild hochgeladen - aber ich kanns grad nicht mehr finden (... stimmt was mit der Suchfunktion nicht? :-)...).
Vielleicht findest du es ja...
Eigentlich sieht es ja aus, wie 2 an der Unterseite zusammengeklebte 4-seitige Pyramiden. Kannst du dir das vorstellen?
Ok - nun zu deinen Formeln:
Die Oberfläche des Oktaeders besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken (denn jede der beiden Pyramiden hat eigentlich 5 Seiten, doch die Unterseiten fallen ja dann weg - verstehst du?):
Herleitung zur Formel:
(Die "Sternchen" sollen Multiplikationszeichen und der "Schrägstrich" der Bruchstrich sein.)
(8*a*h)/2 = 4*a*h
Ein Oktaeder kann, wie gesagt, in zwei mit den Grundflächen aneinanderliegenden Pyramiden eingeteilt werden.
Daraus ergibt sich das doppelte Volumen einer Pyramide:
V=(G*h) / 3
Solltest du dazu noch Fragen haben, meld dich ruhig! :-)
Maren |
Maren (maha)
Neues Mitglied
Benutzername: maha
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. April, 2002 - 20:09: |
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Oh Sorry... hab vorher nich mehr nachgeschaut, ob schon jemand geantwortet hatte...
Maren |
tara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 15:11: |
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Hallo!!!!!! Vielen Dank für eure Erklärungen. |
Kaylah
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 13:40: |
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Hallo,
Wisst ihr vielleicht, wo ich ein Bild von einem Oktaeder herunterladen kann. Ich brauche eine gute Skizze, am besten durchsichtig, so dass man die hinteren Kanten auch sehen kann. Wäre noch dankbar wenn dass jemand von euch wüsste! |
Verena (karabagh)
Mitglied
Benutzername: karabagh
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 14:43: |
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ja Katja, auf www.mathematik.ch - dann auf Anwendungen- weiter weiß ichs grad nicht, findst du aber |
