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Beitrag |
    
JoeDotter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 20:22: | 
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Hallo,
schön das es dieses Forum gibt.
Bin ja schon länger aus der Schule raus und tue mich etwas schwer mit der Lösung der folgenden Aufgabe, die unser Matheass von unserer Funkrunde ins Leben gerufen hat. Leider beschäftigen sich so viele unserer Funkrunde seit Wochen damit das ein normales palavern nicht mehr möglich ist. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
Ein Zylinder 1,5m im Durchmesser und 2m hoch ist zu 90% mit einer Flüssigkeit befüllt.
Wie hoch ist der Pegelstand wenn der Zylinder auf der Seite liegt?
Habe also das Gesamtvolumen berechnet und das 90%tige Volumen. Dann habe ich mit gedacht das man das über einen 10%tige Kreisabschnittsfläche rechnen könnte, die dann von einer Funktion iterativ verglichen, wird bis das Volumen passt.
Immer mehr scheint mir der Gedanke zu kommen das ich da auf dem falschen Weg bin, da man das angeblich mit Geschick auch im Kopf rechnen könnte.
Ich bedanke mich schon mal für jegliche Hilfe
MfG Joe |
JoeDotter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 20:33: |
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Ja, ach so
ich habe auch einen winkelausschnitt von 36grad ermittelt, bei dem bei einer Höhe von 2m das fehlende Volumen herauskommt.
Wie rechnet man denn die Fläche des Winkelabschnitts in eine Kreisabschnittsfläche um ?
MfG Joe |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1692
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Januar, 2006 - 08:19: |
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Hallo!
Da sowohl beim stehenden als auch liegenden Zylinder sich dessen Höhe (2 m) nicht verändert, kommt es tatsächlich nur auf das Kreissegment (Kreisabschnitt) an! Dazu braucht man nicht einmal das Volumen zu berechnen, sondern gleich die Höhe jenes Kreissegmentes, das ein Zehntel des ganzen Kreises zum Flächeninhalt hat.
Das Kreissegment habe die Sehnenlänge 2s, den Abstand der Sehne vom Mittelpunkt d, den Radius r. Die gesuchte Größe ist der Wasserstand (r + d) beim liegenden Zylinder. Die dabei noch frei bleibende Höhe ist (r - d). Der Öffnungswinkel des zugehörigen Sektors sei alpha.
Es ist:
sin(alpha/2) = s/r -> s = r*sin(alpha/2)
cos(alpha/2) = d/r -> d = r*cos(alpha/2)
Die Fläche A_Segm des Segmentes ist die Differenz der Fläche A_Sekt des Kreissektors und des von den Radien der Sehnenendpunkte gebildeten gleichschenkeligen Dreieckes. Dessen Flächeninhalt ist
A_Dreieck = s*d = r²*sin(alpha/2)*cos(alpha/2) = (r²/2)*sin(alpha)
A_Segm = A_Sekt - A_Dreieck
A_Segm = r²*pi*alpha°/360 - (r²/2)*sin(alpha) = r²*pi/10
In der Formel des Sektors ist phi° in Grad!
Der Winkel phi muss allerdings ins Bogenmaß umgerechnet werden, denn nur damit ist die Gleichung richtig.
alpha° = alpha*180/pi
r²*pi*alpha/(2pi) - (r²/2)*sin(alpha) = r²*pi/10
r²*alpha/2 - (r²/2)*sin(alpha) = r²*pi/10
alpha/2 - sin(alpha)/2 - pi/10 = 0
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Aus der letzten (transzedenten) Gleichung lässt sich nun alpha näherungsweise bestimmen. Wir sehen dabei, dass der Winkel alpha vom Radius unabhängig ist, denn durch r² kann man kürzen.
Mittels Iteration oder anderer Näherungsverfahren erhalten wir
alpha = 1,62675 (Bogenmaß) = 93,206°
Nochmals: Das Ergebnis ist unabhängig von der Höhe (2m) des Zylinders!
Der von dir ermittelte Öffnungswinkel von 36° stimmt also keineswegs.
Mit der besonderen Angabe 2r = 1,5 m ist r = 0,75 m, d = 0,75*cos(46,603°) m = 0,5153 m
und damit steht das Wasser
r + d = 1,265 m hoch bzw. bleiben oben noch 23,5 cm frei.
Gr
mYthos |
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