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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 117 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 14:51: |
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Hallo, Gesucht sind alle Ebenen durch die Punkte A(2;3;4)und B(6;5;16) die zum Ursprung den Absatnd 2 haben. Welchen Ansatz müsste ich hier wählen? Vielen Dank im Voraus, K. |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 125 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 15:05: |
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Hi, K, wenn Du im Archiv stöberst unter "Ebenen", dann findest Du genau dieses Beispiel einige Male, sehr ausführlich und auf verschiedene Arten von megamath bearbeitet! liebe Grüße elsa ***** |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1409 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 15:25: |
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A(2|3|4) B(6|5|16) C(r|s|t) e: x = (2;3;4) + p(2;2;12) + q(r-2;s-3;t-4) k: x^2+y^+2+z^2 = 2^2 (2+2p+qr-2q)^2 + (3+2p+qs-3q)^2 + (4+12p+qt-4q)^2 = 4 r,s,t darfst du beliebig wählen, mußt aber darauf achten, daß p und q nur eine Lsg. haben; => ausquadrieren, und einmal nach p = und einmal nach q = ansetzen und die beiden Auadrücke unter der Wurzel müssen 0 sein, ergibt Dir 2 Gleichungen in p,q Weiter kommst selber Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 118 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 16:12: |
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@Mainzi: Alles klar. Ist ja eigentlich ganz einfach, wenn man den Ansatz hat. Danke!! K. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1410 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 16:57: |
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(2+2p+qr-2q)^2 + (3+2p+qs-3q)^2 + (4+12p+qt-4q)^2 = 4 4+4p^2+q^2r^2+4q^2 + 8p+4qr-8q+4pqr-8pq-4q^2r + 9+4p^2+q^2s^2+9q^2 + 12p+6qs-18q+4pqs-12pq-6q^2s + 16+144p^2+q^2t^2-16q^2 + 96p+8qt-32q+24pqt-96pq-8q^2t = 4 152p^2 + (r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3)q^2 + 116p + (4r+6s+8t-58)q + (4r+4s+24t-116)pq + 25 = 0 damit die Terme für Lsg. etwas einfacher werden 152p^2 + Aq^2 + 116p + Bq + Cpq + 25 = 0 I: 152p^2 + (116+Cq)p + (Aq^2 + Bq + 25) = 0 II: Aq^2 + (B+Cp)q + (152p^2 + 116p + 25) = 0 in der Formel ist die Diskrimante b^2-4ac, mehr brauchen wir gar nicht, denn die muß 0 sein IL: (116+Cq)^2 - 4*152(Aq^2 + Bq + 25) = 0 IIL: (B+Cp)^2 - 4A(152p^2 + 116p + 25) = 0 aus IL folgt: (116+Cq)^2 - 4*152(Aq^2 + Bq + 25) = 0 (C^2-608A)q^2 + (232C-608B)q - 1744 = 0 weil ja q eindeutig sein muß auch hier wieder die Diskriminante 0setzen (232C-608B)^2 + 4*1744(C^2-608A) = 0 64(29C-76B)^2 + 64*109(C^2-608A) = 0 29^2C^2 - 2*29C*76B+76^2B^2 + 109(C^2-608A) = 0 950C^2 + 5776B^2 - 4408BC - 66272A = 0 475C^2 + 2888B^2 - 2204BC - 33136A = 0 aus IL folgt: (B+Cp)^2 - 4A(152p^2 + 116p + 25) = 0 (C^2-608A)p^2 + (2BC-464A)p + (B^2-100A) = 0 weil ja auch hier p eindeutig sein muß auch hier wieder die Diskriminante 0setzen (2BC-464A)^2 - 4(C^2-608A)(B^2-100A) = 0 (BC-232A)^2 - (C^2-608A)(B^2-100A) = 0 B^2C^2 - 464ABC + 232^2A^2 - B^2C^2 + 608AB^2 + 100AC^2 - 60800A^2 = 0 - 464ABC + 232^2A^2 + 608AB^2 + 100AC^2 - 60800A^2 = 0 A(-116BC + 116^2A + 152B^2 + 25C^2 - 15200A) = 0 A(-116BC + 152B^2 + 25C^2 - 1744A) = 0 2 Fälle: Fall A = 0: A = r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3 B = 4r+6s+8t-58 C = 4r+4s+24t-116 475C^2 + 2888B^2 - 2204BC = 0 und A = 0 ergibt 2 Gleichungen in r,s,t 475(4r+4s+24t-116)^2 + 2888(4r+6s+8t-58)^2 - 2204(4r+6s+8t-58)(4r+4s+24t-116) = 0 r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3 = 0 Lösungstrippel (r;s;t) ergeben den jeweils 3ten Punkt der Ebene, für welche die gestellte Bedingung gilt; Fall A ¹ 0 A = r^2+s^2+t^2-4r-6s-8t-3 B = 4r+6s+8t-58 C = 4r+4s+24t-116 -116BC + 152B^2 + 25C^2 - 1744A = 0 und 475C^2 + 2888B^2 - 2204BC - 33136A = 0 auch hier: ergibt 2 Gleichungen in r,s,t Lösungstrippel (r;s;t) ergeben den jeweils 3ten Punkt der Ebene, für welche die gestellte Bedingung gilt; der Fall wird ein wenig komplizierter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 127 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 21:38: |
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Hallo Walter, schon am Beginn hat sich ein Fehler bei Deiner Rechnung eingeschlichen: Der Vektor AB ist nicht korrekt! Das Verfahren scheint mir recht kompliziert zu sein. Ich habe es nicht weiter verfolgt. Aber K. scheint ja alles klar zu sein.... Gruß von elsa |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1411 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. September, 2005 - 22:15: |
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Elsa, Verflixte 4 Gibts ein einfacheres Verfahren? Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 128 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 04:33: |
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Hi, Walter, wie schon gesagt: exakt dieses Beispiel wurde schon ein paar Mal behandelt, auf verschiedene Arten, auch mYthos hat eine schöne Lösung geschrieben. Mußt nur im Archiv suchen... herzliche Grüße elsa |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1503 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 08:14: |
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Hallo, dies haben wir tatsächlich schon behandelt, sogar mit denselben Angaben! http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/show.cgi?25/358516 Gr mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1412 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 09:20: |
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@Elsa ich würd nicht fragen, hätt ich die Lösung von mYthos verstanden ... 1/sqrt(a^2+b^2+c^2) = 2 <-- was ist hier die Ausgangsgleichung? ax + by + cz = 1 kanns nicht sein (Beitrag nachträglich am 04., September. 2005 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1504 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:14: |
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@Mainzi Warum sollte die Ebene nicht in dieser Form ax + by + cz = 1 [ .. d-normierte oder Abschnittsform] korrekt sein? Wenn man die allgemeine Ebenengleichung ax + by + cx = d (d <> 0, weil sie NICHT durch den Ursprung geht) normiert, d.h. durch d dividiert, erhält man (a/d)*x + (b/d)*y + (c/d)*z = 1 das ist die Abschnittsform, weil man daraus die Abschnitte auf den Achsen d/a, d/b und d/c direkt ablesen kann. Sinn des Ganzen ist es, dass in der Folge nur mit 3 Variablen weiterzurechnen ist. Gr mYthos (Beitrag nachträglich am 04., September. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1505 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:19: |
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a/d, b/d bzw. c/d ersetzen wir nun einfach durch neue Variablen, z.B. a0, b0, c0 oder eben gleich durch a, b, c Und der Abstand des Ursprunges von dieser Ebene ist lt. Hesse'sche Normalform: (ax + by + cz - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 .. HNF jetzt O einsetzen |-1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)| = 2 Gr mYthos (Beitrag nachträglich am 04., September. 2005 von mythos2002 editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1413 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 10:40: |
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aus (ax + by + cz - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 .. HNF folgt nie, wenn Du für x,y,z jeweils 0 einsetzt |-1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)| = 2 sondern (0*a + 0*b + 0*c - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 <=> (-1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 <=> 1/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 sondern Du brauchst die Kugelgleichung a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 siehst Du das anders? (mit der Kugelgleichung hätt ich es sofort gesehen, wie es geht) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 129 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:02: |
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Walter, das erste ist die Hesse'sche Normalform, und danach, wo mYthos den Punkt einsetzt, das ist die Hesse'sche Abstandsformel! Gruß von elsa |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1414 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:16: |
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Elsa, ist das (ax + by + cz - 1)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 die Abstandformel? wenn ja, setz mal für x,y,z den Wert 0 ein, und ... was siehst Du? Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 130 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:28: |
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Walter, das ist die HNF, also die Hesse'sche Normalform der Ebene! Gruß elsa |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1415 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:46: |
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ich vermisse dann die Abstandsformel, kann sie jemand hinschreiben, damit wir vom gleichen reden Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1506 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 11:52: |
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Abstand (nenne ihn hier r) eines Punktes P von einer Ebene (in R3; analog ist's in R2 mit Punkt und Gerade): Gleichung der Ebene, auf 0 gebracht: ax + by + cz - d = 0 Punkt P(x1|y1|z1) (ax + by + cz - d)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = 0 .. HNF der Ebene Wenn man NUN den PUNKT einsetzt (genauer: dessen Koordinaten), steht RECHTS NICHT MEHR 0, sondern der gesuchte Abstand r! (ax1 + by1 + cz1 - d)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = r Gr mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1507 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 12:00: |
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Wenn nur der Abstand interessiert, nehmen wir den Absolutbetrag des linken Wertes. Dessen Vorzeichen ist aber auch nicht uninteressant. Man kann damit Auskunft darüber erhalten, ob der Punkt und der Ursprung auf derselben Seite der Ebene (R2: Geraden) liegt oder nicht. Gr mYthos |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1416 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 12:05: |
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Danke mYthos, damit blick ich durch, hatte diese Form in der Schule nie gehabt - hatten nur die Normalvektorform und die dazupassende Hesse'sche Normalvektorform, und die sieht etwas anders aus Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1508 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. September, 2005 - 12:25: |
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Hi, auch in der Normalvektorform unterscheidet sich die HNF nicht wesentlich von der zuvor dargelegten : N.X = c ... Gleichung der Ebene in R3 (der Geraden in R2) No = N/|N| .. normierter Normalvektor Gleichung der Ebene (Geraden) durch |N| dividieren: setze c/|N| = c0, bringe auf 0 No.X - c0 = 0 Punkt P: Zur Besimmung des Abstandes d wird statt X der Vektor P = OP (Ortsvektor) eingesetzt: |No.P - c0| = d Gr mYthos |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 119 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 05. September, 2005 - 20:05: |
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@Mainziman: Nur zum Überblick: Abstandsformeln: 1. Möglichkeit. d= | (x -p) * n0 Vektor x ist der Punkt zu dem der Abstand gesucht wird Vektor p ist, wie bei der Normalenform der Ebene ein Punkt der Ebene n0 ist der Normalenvektor, also ´der Normalenvektor mit der Länge 1 2. Möglichkeit: Koordinatendarstellung der Hesseschen Normalenform: Koordinatengleichung der Ebene E: a1x1+ a2x2+ a3x3= b (a1x + a2y + a3z -b )/sqrt( a1^2 + a2^2 + a3^2)=0 Abstand d eines Punktes R (r1;r2;r3) von der Ebene E: d = | (a1r1+ a2r2+ a3r3 -b)/sqrt(a1^2+a2^2+a3^2)| Vielen Dank für die Mühe, K. @ Mythos und elsa: Die Ansätze (und Lösungen) im Forum hab ich auch schon gesehen, aber das eigentliche Ziel der Aufgabe war es einen andern Weg zu finden. Aber trotzdem danke für eure Mühe! K. |