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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4988 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:27: |
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Hi Walter Ich sende in den folgenden Beiträgen den versprochenen Exkurs zum Prismatoid. Wie schon früher mitgeteilt, lautet die Erklärung dieses Begriffs so: Liegen alle Ecken eines Polyeders in zwei parallelen Grenzebenen, der Grundfläche (Inhalt G) und der Deckfläche (Inhalt D), so liegt ein Prismatoid vor. Beide dieser Flächen werden oftmals als Grundflächen bbezeichnet. Jeder zur Grundfläche parallele Schnitt erzeugt einen Parallelschnitt. Die Mittelparallelebene der beiden Begrenzungsflächen erzeugt den so genannten Mittelschnitt, Inhalt M. Der Abstand der beiden parallelen Begrenzungsflächen ist die Höhe h des Prismatoids. Für ein Prismatoid gilt die Volumenformel V = h / 6 * [G + 4 M + D] , die später hergeleitet werden soll. Die Deckfläche kann zu einer Strecke degenerieren, die parallel zur Grundfläche liegt; sie hasst dann „Schneide“. Es liegt in diesem Fall ein Keilkörper vor. Nach wie vor gilt die erwähnte Volumenformel; es ist daselbst D = 0 zu setzen! Zu jeder Seite des Mittelschnitts gibt es in der zugehörigen Seitenfläche in einer der beiden Grundflächen ein doppelt so lange Seitenkante. Daher gilt der Satz: Der Umfang des Mittelschnitts eines Prismatoids ist gleich dem arithmetischen Mittel der Umfänge der beiden Grundflächen. Für die Vorstellung kann die folgende Bemerkung hilfreich sein. Ist die Grundfläche ein m –Eck und die Deckfläche ein n-Eck, so hat der Parallelchnitt höchstens m+n Ecken. Wir bestätigen leicht den Eulerschen Polyedersatz e – k + f = 2. e ist die Anzahl der Ecken, hier e = m + n k ist die Anzahl der Kanten , hier k = 2m + 2n f ist die Anzahl der Begrenzungsflächen, hier f = m + n + 2 Es stimmt! Fortsetzung folgt! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1266 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 12. April, 2005 - 20:48: |
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Hallo Megamath Wäre ein Prismatoid folgendes Gebilde: auf der Ebene mit z = 0 liegt ein regelmäßiges 5eck, mit Mittelpunkt M(0|0|0) und Umkreisradius r = 8, und einem Eckpunkt bei X(0|8|0) auf der Ebene mit z = 4 liegt ebenfalls ein regelmäßiges 5eck mit Mittelpunkt M(0|0|4) und Umkreisradius r = 8, sowie einem Eckpunkt bei Y(8|0|4) jetzt verbinde ich X mit Y und dann im Uhrzeigersinn entsprechend weiter? G und D wären jeweils die 2 regelmäßigen 5ecke, und M müßte, wenn mich meine 3dim. Vorstellung nicht davonträgt auch eines sein? Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4989 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. April, 2005 - 08:56: |
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Hi Walter Dein Beispiel ist sehr gut ausgewählt und stellt einen Sonderfall eines Prismatoids dar. Auf solche Beispiele komme ich nächstens zurück. Es handelt sich um so genannte Antiprismen. Unter einem Antiprisma versteht man ein Prismatoid, in welchem die Grundflächen (verdrehte) kongruente Polygone sind. Ein schönes und instruktives Beispiel ist das reguläre Ikosaeder. Zwei geeignete Normalschnitte zu einer Achse des Ikosaeders zerlegen dieses in zwei kongruente reguläre fünfseitige Pyramiden und ein Prismatoid der genannten Art. Der Mittelschnitt ist ein reguläres Zehneck. Hilfreich ist die Betrachtung von Zeichnungen und Modellen eines regulären Ikosaeders in allen möglichen Positionen! Es geling übrigens, das Volumen eines regulären Ikosaeders aus seiner Kantenlänge mit der Prismatoidformel zu berechnen. Bei Deinem Beitrag ist also noch die Korrektur anzubringen, dass M ein 10-Eck ist. Mit der Zeit wird uns auch das Prismatoid geläufiger. Bis dann Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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