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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5046
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 16:29: | 
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Hi allerseits
Zum Abschluss der Serie FE erscheint als Nr.13
eine ganz konventionelle Aufgabe für die Oberstufe,
die aber ihre Tücken hat.
Die Hauptsche ist wohl: die Aufgabe lässt verschiedene
Lösungsmethoden zu; Schüler können ihre Fitness bezüglich
der Vektorrechnung und analytischen Geometrie des R3 messen und ein wenig abschätzen, was noch alles zu lernen wäre auf diesem Betätigungsfeld.
Man nehme das Mass!
Gegeben ist eine einparametrige Ebenenschar E( c ) mit der Gleichung x – y + c z = 1
(der reelle Parameter c variiert von minus unendlich bis plus unendlich),
sowie der feste Punkt S(1/2/3).
a)
Man spiegele die Ebene F am Punkt S und ermittle die Gleichung der Bildebene F in Abhängigkeit von c.
b)
Berechne den Abstand d = d( c ) der beiden Ebenen E und F.
Welches ist das Minimum m und welches ist das Maximum M,
das dieser Abstand annehmen kann?
c)
Welches Gebilde entsteht aus E und F, wenn c gegen unendlich strebt?
d)
Existiert der Limes von d( c ) für c strebt gegen unendlich?
Welches ist der allfällige Wert?
Viel Vergnügen bei Lösungsversuchen,
und viel Erfolg bei der Lösung!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1301
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 17:26: |
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Ebene E: x - y + cz = 1 bzw. (1; -1; c) * [ x - (1; 0; 0) ] = 0
das Lot der Ebene durch den Punkt S beschreibt sich so:
x = (1; 2; 3) + s * (1; -1; c)
geschnitten mit der Ebene ergibt:
(1 + s) - (2 - s) + c*(3 + c*s) = 1
2s + sc^2 = 2-3c
s = (2-3c)/(2+c^2)
x = (1; 2; 3) + s * (1; -1; c)
ergibt
x = (1; 2; 3) + (2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c)
Aufgabe a)
x = (1; 2; 3) - (2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c)
ergibt den Lotfußpunkt der Spiegelebene F
(1; -1; c) * [ x - (1; 2; 3) + (2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c) ] = 0
x - y + cz = (1; -1; c) * [ - (1; 2; 3) + (2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c) ]
Ebene F: x - y + cz = 3 - 6c
Aufgabe b)
|(2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c)| = |2-3c|/sqrt(2+c^2) ist der halbe Abstand, d(c) = 2*|2-3c|/sqrt(2+c^2)
2-3c = 0 <=> c = 2/3, damit gilt für c = 2/3, das Minimum m für den Abstand
2*|2-3c|/sqrt(2+c^2) = 2*sqrt(4-12c+c^2)/sqrt(2+c^2) = 2*sqrt((4-12c+c^2)/(2+c^2)) ist maximal wenn auch der Ausdruck unter der Wurzel maximal ist
((4-12c+c^2)/(2+c^2))' = (-24-4c+12c^2)/(2+c^2)^2
das 0gesetzt ergibt -24-4c+12c^2 = 0 <=> -6-c+3c^2 = 0
c1,2 = ( 1 +/- sqrt(1 + 72) ) / 6
durch die Variante ist ein "Extremwert" hinzugekommen, es ist der zu nehmen bei dem der Betrag tatsächlich größer ist
2*|2-3c1|/sqrt(2+c1^2) ~ 1.30237
2*|2-3c2|/sqrt(2+c2^2) ~ 3.05022
damit gilt für c = (1-sqrt(73))/6, das Maximum M für den Abstand
Aufgabe c)
Mein Vorstellungsvermögen streikt
Aufgabe d)
LIM [c->inf] 2*|2-3c|/sqrt(2+c^2) =
LIM [c->inf] 2*sqrt((2-3c)^2)/sqrt(2+c^2) =
LIM [c->inf] 2*sqrt(4-12c+c^2)/sqrt(2+c^2) = 2
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5048
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 20:03: |
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Hi Walter
Herzlichen Dank für Deine Bemühungen.
Bei der Teilaufgabe a) lautet mein Ergebnis
x – y + c z = 6 c – 3.
Ich werde morgen noch alles weitere nachrechnen und alle Ergebnisse zusammensuchen und auch herleiten
Nochmals: Danke!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1302
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 20:18: |
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Ich werd doch nicht wo a Vorzeichen verloren haben ... 
(1; -1; c) * [ x - (1; 2; 3) + (2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c) ] = 0
x - y + cz + (2-3c)/(2+c^2) * (1; -1; c)^2 = (1; -1; c) * (1; 2; 3)
x - y + cz + 2 - 3c = 1 - 2 + 3c
x - y + cz = - 3 + 6c
ok, hab nur des Vorzeichen "verdreht" 
damit stimmt dann auch die Probe:
E: x - y + cz = 1
F: x - y + cz = - 3 + 6c
beide Ebenen sind ident, wenn gilt
1 = -3 + 6c <=> 4 = 6c <=> c = 2/3, und das ist dann das c, welches ein Minimum für d(c) ergibt;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5049
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 20:22: |
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Hi Walter
Das wird cool!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5050
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. April, 2005 - 09:02: |
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Hi Walter
Bemerkungen zur Teilaufgabe a)
Deine Lösung ist nach überstandenem Vorzeichenintermezzo
richtig.
Ebenso der Schluss mit dem Minimalwert m = 0.
Man braucht übrigens nicht unbedingt den Fußpunkt L des
Lotes von S aus auf die Ebene E an S zu spiegeln, es geht ebenso gut mit jedem andern Punkt U der Ebene E.
Man legt dann die Bildebene F durch den Bildpunkt U° von U.
Andere Methoden, um F zu ermitteln:
1.
Parallelverschiebung des Koordinatensystems:
S ist neuer Nullpunkt eines (u,v,w)-Systems:
x = u+1, y = v+2 , z = w +3.
Aus der Ebene E wird in den neuen Koordinaten:
u + 1 – (v+2) + c (w+3) = 1 , einfacher:
u – v + c w = 2 – 3 c
Spiegelung an S bedeutet:
ersetze u durch – u
v durch – v
w durch - w
Damit lautet die Gleichung von F im neuen System:
- u + v - c w = 2 – 3 c;
in den alten Koordinaten:
1 – x + y – 2 + 3 c - c z = 2 – 3 c . vereinfacht:
- x + y – c z = 3 - 6 c
sogar die Vorzeichen sind richtig!
2.
Benützung der Mittelparallelebene M (wie Megamath)
der Ebenen E und F.
Wir legen durch den Punkt S(1/2/3) die zur Ebene E parallele Ebenen M: ihre Gleichung lautet:
x - y + cz = - 1 +3 c
M ist die Mittelparallelebene der Ebenen E und F; schreibt man
alle linken Seiten der Ebenengleichungen auf dieselbe Art, so ist die rechte Seite von M
das arithmetische Mittel der rechten Seiten der Gleichungen von E und F.
Man findet sofort die Gleichung von F aus denjenigen von E und M.
E : x – y + c z = 1
M : x - y + c z = - 1 +3 c
F : x - y + c z = - 3 + 6 c
Die letzte Methode ist wohl die eleganteste!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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