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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 703
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. November, 2005 - 20:49: | 
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hallo,
kann mir jemand sagen, wie man folgendes integral lösen kann:
Int(0 bis 2pi)1/(5+3*sin(x) dx
detlef |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2993
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 07:13: |
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zunächst mit der Substitution u = tan(x/2),
womit
es dann zu einen Intgranden dv/(1+v^2) fuehrt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaÜen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muÜ es einen Platz für Erraten, für plausibles SchlieÜen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg PÜlya]
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1615
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 11:58: |
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Die Substitution t = tan(x/2) ist jedenfalls die Standard-Vorgangsweise (auf Abakus - abakus.hawhaw.de - wird allerdings die abgewandelte Form t = tan(x/2 + PI/4) vorgeschlagen).
Wir differenzieren t = tan(x/2) zunächst nach x (Differentialschreibweise dx/dt), es ist dann
dx = 2*cos²(x/2) * dt
Aus der Substitution selbst ergeben sich mittels der trigonometrischen Grundformeln folgende Beziehungen:
sin²(x/2) = t²/(1 + t²);
cos²(x/2) = 1/(1 + t²)
sin(x) = 2t/(1 + t²); cos(x) = (1 - t²)/(1 + t²)
tan(x) = 2t/(1 - t²)
Somit kann
dx = 2*cos²(x/2) * dt
durch
dx = 2/(1 + t²) * dt
ersetzt werden.
Das Integral geht somit über in
= Int [1/(5 + 3sin(x)]*2dt/(1 + t²) =
= 2*Int [1/((5 + 6t/(1 + t²))*(1 + t²))]dt =
= 2*Int [1/(5t² + 6t + 5)]dt
Aus der Integraltabelle (der rationalen Funktionen) ziehen wir die folgende Formel heran:
Int [dx/(ax² + bx + c)] = 2/sqrt(d) * arctan((2ax + b)/sqrt(d))
wobei d = 4ac - b² (größer Null) bedeutet.
Damit kommt mit d = 64 bzw. sqrt(d) = 8
...
= (4/8)* arctan((10t + 6)/8) = (1/2)*arctan((5t + 3)/4)
Nun rücksubstituieren, ..
= (1/2)*arctan((5*tan(x/2) + 3)/4) (+C)
Die Lösung (für das unbestimmte Integral) ist definitv richtig, das ergibt die Probe durch Differenzieren.
Dennoch hakt es aber beim Einsetzen der Grenzen, wir erhalten von 0 bis 2PI den Wert 0. Tatsächlich sollte sich aber PI/2 (*) ergeben.
Ein höchst interessantes Phänomen, dem noch auf die Spur zu kommen ist. Vielleicht könnte sich an der Jagd noch jemand beteiligen?
(*) Ergebnis mit CAS-Programmen und auch geometr. richtig
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 21., November. 2005 von mythos2002 editiert) |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 704
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. November, 2005 - 12:45: |
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hallo,
ich habe jetzt noch einen Hinweis bekommen und zwar lässt sich das mit dem Residuensatz lösen?Dieser sagt mir aber gar nix?!
Danke für eure Lösungen, aber kann mir dazu jemand was sagen?
detlef |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 705
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. November, 2005 - 11:52: |
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Ich hoffe doch, dass der Satz so heißt?!?!?
detlef |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1502
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. November, 2005 - 14:00: |
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Da steht was zum Residuensatz
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/int/node8.html
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 706
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. November, 2005 - 17:10: |
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ähm, ja!
Irgendwie versteh ich das nicht so ganz, wie kann ich das für die Integration verwenden?
detlef |
Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1619
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. November, 2005 - 20:15: |
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Interessanterweise berechnet Derive und auch MatheAss das Ergebnis (zw. 0 und 2pi) richtig, es lautet nämlich pi/2.
Den o.a. Link habe ich bei meinen Recherchen auch gefunden. Der Residuensatz behandelt offenbar in der Hauptsache Ringintegrale, also Integrale über geschlossene Kurven, allerdings mit Polstellen. Die vorgelegte Funktion beschreibt aber eine ganz "normale" Kurve.
Der Grund für das sonderbare Verhalten beim Integrieren wird aber schon jener sein, dass bei der Substitution t = tan(x/2) bei x = pi eine Polstelle besteht, denn tan(pi/2) geht über alle Grenzen.
Man müsste dann, um herkömmlich rechnen zu können, folgerichtig das Integrationsintervall einengen, z.B. von 0 bis pi/2 (obere Grenze max. kleiner als pi), welches nun keine Polstelle enthält! Und - siehe da - jetzt erhalten wir tatsächlich auch ein richtiges Ergebnis!
In der Lösung: (1/2)*arctan((5*tan(x/2) + 3)/4)
Grenze pi/2: 0.5535743588
Grenze 0: 0.3217505543
Ergebnis: 0.5535743588 - 0.3217505543 = 0.2318238045
Wir erhalten denselben Wert auch direkt über Derive oder ein anderes CAS.
Gr
mYthos |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 707
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. November, 2005 - 12:56: |
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Also in welcher Weise hast du den Residuensatz nun verwendet?
Kannst du mir dazu mehr erläutern?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
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Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. November, 2005 - 13:20: |
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Hallo Detlef
Mythos hat ihn gar nicht angewendet.
Ich kenne den Satz auch nicht und kann mich nur auf den von Walter gegebenen Link beziehen.
Hier nur mal eine Rechnung, wie du auf das Ergebnis kommst mit dem Residuensatz(warum das alles funktioniert kann ich dir dabei auch nicht erklären):
Polstelle deiner Funktion ist bei z0=-arcsin(5/3). Das ist offenbar eine komplexe Zahl. Jetzt berechnest du
Res(f,z0)=lim(z->z0) (z-z0)*f(z) mit f(z)=1/(5+3*sin(z)).
Dort kommt -1/4*i raus(l'Hospital z.B.)
Dein Integral oben bezeichne ich mal mit I(f). Nach dem Residuensatz gilt nun
1/(2pi)*I(f)=Res(f,z0)=-1/4*i
=> I(f)=p/2
Ist jetzt wie gesagt nur eine Rechnung ohne das nötige Hintergrundwissen. Ich schätze mal nächstes Semester kann ich dir mehr dazu sagen 
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 708
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. November, 2005 - 11:46: |
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Hmm, okay vielen dank!
Hat jemand noch weitere Infos zu dem satz gefunden, weil ich konnte sonst gar nix weiter finden!?
detlef |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1983
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. November, 2005 - 13:26: |
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Hallo Detlef
Wenn du in google suchst findest du recht viele Sachen zum Residuensatz. Bei Wikipedia steht auch was.
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
Senior Mitglied
Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 710
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. November, 2005 - 11:27: |
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Bei deiner Grenzwertberechnung, wie kommst du da genau auf dieses Ergebnis?L'Hospital heißt doch ableitunf bilden, wenn nenner und zähler gegen 0 oder unendlich gehen?!?
und noch oben zu der substitution, wieos ist
t= tan(x/2) so eine standardvariante? bei welchen funktionen wird das gemacht?
detlef
(Beitrag nachträglich am 26., November. 2005 von detlef01 editiert) |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1984
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. November, 2005 - 16:16: |
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Hallo Detlef
Wenn du ableitest steht da ja
1/(3cos(z))=1/(3sqrt(1-sin2(z)))
Und da kannst du ja dann für z einfach -arcsin(5/3) einsetzen. Dann steht dort
1/(3*sqrt(1-(5/3)2)
=1/(3*sqrt(-16/9))
=1/(4*i)=-1/4*i
MfG
Christian |
Detlef01 (Detlef01)
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Benutzername: Detlef01
Nummer des Beitrags: 712
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. November, 2005 - 16:35: |
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okay, danke,
was ist denn dieser teil nun?also ist das jetzt das residuum? was heißt das eigentlich übersetzt?
detlef |
