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Bom (Bom)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Bom
Nummer des Beitrags: 113 Registriert: 03-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Dezember, 2004 - 21:41: |
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hi! es gibt zwei kugeln mit M(b,1,0) für welche g10,1,8)+r(0,-1,1) und h: (4,4,11)+t(-8,0,0) Tangenten sind. Bestimmen Sie den Mittelpunkt der beiden Kugeln! Hat da jemand Rat? Grüße und frohe Weihnacht BoM |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4709 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Dezember, 2004 - 21:13: |
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Hi BoM Deine Berührungsaufgabe für Kugeln mit vorgegebenen Tangenten ist nicht nur für Studierende, sondern offenbar auch für Helfer aus dem Forum anspruchsvoll genug. Die Aufgabe lässt sich mit Hilfe der Diskriminantenmethode einigermaßen bequem lösen. Das geht so: Setze als Kugelgleichung an: f:= (x-b)^2 + (y-1)^2 +z^2 – r^2 = 0 r ist der zu bestimmende Kugelradius. Damit es zu keinen Verwechslungen mit dem Parameter in der Gleichung für die Gerade g kommt, ersetzen wir dort den Parameter r durch s. Die Gerade g hat demnach die Parametergleichung in skalarer Schreibweise: x = 10; y = 1 – s ; z = 8 + s Dies setzen wir der Reihe nach in die Kugelgleichung f = 0 ein Es entsteht eine quadratische Gleichung für s, die, schön geordnet, folgendermaßen lautet: 2 s^2 + 16 s + 164 + b^2 – 20 b - r^2 = 0 Die Gerade g wird zur Tangente, wenn diese Gleichung eine Doppellösung in s hat. Um diesen Sachverhalt zu erreichen, setzen wir die Diskriminante D dieser Gleichung null! Wir erhalten: D = 256 – 8 * (164 + b^2 - 20 b – r^2) Mit D = 0 kommt eine Gleichung für r und b, die vereinfacht so lautet: b^2 - 20 b + 132 – r^2 = 0…………………………………………………..(1) Dasselbe Verfahren wenden wir auf die Gerade h an, deren skalar angeschriebene Darstellung mit t als Parameter lautet: x = 4 – 8 t ; y = 4 ; z = 11. Dies setzen wir der Reihe nach in die Kugelgleichung f = 0 ein Es entsteht eine quadratische Gleichung für t, die, wiederum schön geordnet, folgendermaßen lautet: 64 t^2+ 16 (b - 4) t + 146 + b^2 - 8 b - r^2 = 0 Wir setzen die Diskriminante E dieser Gleichung ebenfalls null, damit auch h zur Tangente wird. Der Reihe nach kommt E = 256 (b-4)^2 – 256 (146 + b ^ 2 – 8 b - r ^2) E = 0 führt uns zu einer zweiten Gleichung für r und b b^2 – 8 b + 16 = 146 + b ^ 2 - 8 b – r^2 b fällt sogar weg, und es bleibt das Teilresultat r^2 = 130 °°°°°°°°°° Mit der Gleichung (1) erhalten wir die beiden b-Werte: b1 = 10 + 7 * sqrt (2) b1 = 10 - 7 * sqrt (2) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4710 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 25. Dezember, 2004 - 21:25: |
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Hi BoM Du kannst das Ergebnis überprüfen. Ersetze in der Kugelgleichung b durch den Term b1=10 + 7 * sqrt(2) ; r^2 durch 130 Schneide die Kugel mit g, indem Du x =10, y=1 – s , z = 8 + s einsetzest. Es kommt für den Parameter s die Gleichung 2 s^2 + 16 s + 32 = 0 Faktorisiert: 2 * ( s + 4) ^ 2 = 0 s = - 4 ist ersichtlich eine Doppellösung, wie es sein muss. Schnitt derselben Kugel mit h; setze ein: x = 4 – 8 t , y = 4 , z = 11 Es kommt für den Parameter t die Gleichung ( - 6 - 8 t – 7 sqrt( 2) ) ^ 2 = 0 Die Doppellösung für t ist unschwer zu erkennen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Habac (Habac)
Junior Mitglied Benutzername: Habac
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 04-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 07:44: |
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Hi ich bin auf die gleichen b-Werte gekommen mit folgender Methode: Normalebene zu g durch M: n1: y-z=0 mit g schneiden: Berührungspunkt auf g: B1(10,5,4) Normalebene zu h durch M: n2: x=b mit h schneiden: Berührungspunkt auf h: B2(b,4,11) Jetzt noch die Strecken B1M und B2M bzw. deren Quadrate gleichsetzen: b^2 - 20b + 132 = 130 und nach b auflösen! Gruss! habac |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4713 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 08:40: |
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Hi habac Es ist beruhigend und rettet den Tag: Wir haben dasselbe Resultat auf verschiedenen Wegen bekommen. Dein Weg ist interessant und bietet eine gute Rundsicht. Noch in diesem Jahr führe ich eine andere,nahe liegende Lösungsart vor, die methodisch von Interesse ist und auch einige Ausblicke bieten wird Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4714 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 18:30: |
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Hi allerseits Die Kugelaufgabe von BoM lässt uns keine Ruhe! Wie versprochen, zeige ich eine weitere Lösung. Sie ist rechnerisch ziemlich anspruchsvoll; am Schluss löst sich jedoch alles in Minne auf. An Mittelschulen sollte es zum Standard gehören, dass man den Abstand eines Punktes von einer Geraden mit Hilfe des Vektorproduktes berechnen kann. Das ist so gemeint: Gegeben sei die Gerade g wie im BoM´schen Beispiel: A(10/1/8) sei der „Aufpunkt“, der Vektor a ={0;-1;1} ein Richtungsvektor von g. Gesucht wird der Abstand d1 des Punktes P(u/v/w) von g. Mit Hilfe des Verbindungsvektors p = AP lässt sich d1 als Quotient d1 = Z / N darstellen, wobei Z den Betrag des Vektorprodukts p x a, Faktoren p und a und N der Betrag des Vektors a bedeuten. Lösungsidee. Wir berechnen die Abstände d1 und d2 eines solchen Punktes P(u/v/w) von g bzw. von h. Wir setzen die Quadrate d1^2 und d2^2 einander gleich und fragen nach der Fläche QUAK (Quadrik: Fläche zweiter Ordnung), welche der laufende Punkt P unter der genannten Bedingung beschreibt. Wie diese Fläche heißt, ist gleichgültig: „Ach wie gut, dass niemand weiß, dass ich Rumpelstilzchen heiß". Zumindest werden wir die Gleichung dieser Quadrik berechnen. Zur Bestimmung des Mittelpunktes M der Kugel schneiden wir die Fläche Quak mit der zur x-Achse parallelen Geraden mm, auf welcher nach dem Aufgabentext M liegen muss. Gleichung von mm (b wird als Parameter aufgefasst): x = b, y = 0 , z = 1. Dies geschieht erst ganz am Schluss unserer Lösung! Die Durchführung dieser Idee erfolgt im nächsten Beitrag. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4715 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Dezember, 2004 - 20:47: |
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Hi allerseits Ausführung der im letzten Beitrag geschilderten Idee. Ansatz für P: P(u/v/w). 1. Berechnung des Abstandes d1 d1 = Abstand (P, g). Achtung: es gelten die Daten von g! Ausgangsdaten: Aufpunkt A(10/1/8) Richtungsvektor a von g: a ={0;-1;1} Vektor AP = p = {u-10;v-1;w-8} Vektorprodukt p x a = {v-w-9;10-u;10-u} Quadrat des Betrages dieses Vektorprodukts: Z^2 =2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281 Quadrat des Betrages des Vektors a N^2 = 2 daraus d1^2 = Z^2/N^2 = ½ [2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281 2. Berechnung des Abstandes d2 d2 = Abstand (P, h). Achtung: es gelten die Daten von h! Ausgangsdaten: Aufpunkt A(4/4/11) Richtungsvektor a von h: a ={-8;0;0} Vektor AP = p = {u-4;v-4;w-11} Vektorprodukt p x a = {0;88-8w;8v-32} Quadrat des Betrages dieses Vektorprodukts: Z^2 =64 (v^2+w^2 - 8v -22w+137 Quadrat des Betrages des Vektors a N^2 = 64 daraus d2^2 = Z^2/N^2 = v^2+w^2 - 8v -22w+137 Setzen wir nun die Bedingung d1^2 = d2^2 in die Tat um und vereinfachen gehörig, so erhalten wir als Gleichung der Quadrik, welche vom laufenden Punkt P(u/v/w) beschrieben wird; sie lautet: 2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Diese Fläche wird mit der Geraden u = b , v =1 , w = 0 geschnitten. ( corrigenda:die Gleichung von mm lautet x = b, y = 1 , z = 0, nicht x = b, y = 0 , z = 1 wie im letzten Beitrag angegeben wurde!) Die beiden reellen b-Werte der quadratischen Gleichung b^2 – 20 b + 2 = 0 liefern die beiden gesuchten Mittelpunkte der Kugeln. Damit sind die Kugeln an ihr Ziel gerollt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 72 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Dezember, 2004 - 04:16: |
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@habac: Lange habe ich überlegt, was n1:y-z=0 bedeuten soll… bis ich drauf gekommen bin, dass ein Tippfehler vorliegt: die Gleichung der Normalebene lautet: y-z=1 Irritiert hat mich die Bezeichnung n1 für Normalebene, n1 würde ich eher für einen Normalvektor als für eine Ebene verwenden. Herzlichen Gruß elsa |
Habac (Habac)
Junior Mitglied Benutzername: Habac
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 04-1999
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Dezember, 2004 - 08:41: |
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@Elsa sorry, es war ein Schreibfehler, richtig ist natürlich: y - z = 1. Normalerweise nehme ich für Ebenen griechische Buchstaben. Ich dachte, mit der vorausgehenden Zeile "Normalebene zu g durch M:" sei klar, dass jetzt die Gleichung einer Ebene folgt, aber wenn man die Herleitung der Ebenengleichung erwartet, kann die Bezeichnung n1 natürlich verwirren. Gruss! habac |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4716 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 14:37: |
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Hi allerseits Die Kugelaufgabe von BoM und die präsentierten Lösungen haben einiges Interesse geweckt; dies ergeben Anfragen, welche an mich gerichtet wurden. Dazu das Folgende. Mir gefiel die von habac dargelegte Version besonders gut. Sie ist kurz und bündig und benötigt keine Umschweife. Meine zweite,zuletzt dargestellte Lösung, ist dagegen etwas monströs. Sie enthält jedoch eine kleine Perle, die auf Interesse stößt. Gemeint ist die Gleichung der Fläche zweiter Ordnung, auf der die Mittelpunkte aller Kugeln liegen, welche die vorgelegten Tangenten simultan berühren. Die Gleichung dieser Fläche oder Quadrik lautet: 2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0 In einer neuen Aufgabe der Serie LF soll nach dem Typus dieser Fläche gefragt werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 73 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 20:13: |
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@megamath: ich hoffe, ich habe mich nun nicht selbst geirrt, aber ich glaube, einige Tippfehler entdeckt zu haben, zumindest habe ich bei meinen Berechnungen teilweise andere Ergebnisse: … Vektorprodukt p x a = {v-w-9;10-u;10-u} es müsste heißen: {v+w-9;10-u;10-u} **************** … Quadrat des Betrages dieses Vektorprodukts: Z^2 =2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281 Richtig wäre: Z^2 =2u^2+v^2+w^2+2vw-40 u -18v-18w+281 **************************************** …daraus d1^2 = Z^2/N^2 = ½ [2u^2+v^2+w^2-2vw-40 u -18v+18w+281] es müsste heißen: d1^2 = Z^2/N^2 = ½ [2u^2+v^2+w^2+2vw-40 u -18v-18w+281] ************************************************** … Gleichung der Quadrik: 2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0 es müsste heißen: 2 u^2 – v^2 – w^2 + 2 v w – 40 u – 2v + 26 w + 7 = 0 ******************************************** demnach müsste auch in der LF 600 die Gleichung 2 u^2 – v^2 – w^2 - 2 v w – 40 u – 2v + 62 w + 7 = 0 so lauten: 2 u^2 – v^2 – w^2 + 2 v w – 40 u – 2v + 26 w + 7 = 0 ******************************************** Herzliche Grüße elsa
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4718 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 21:05: |
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Hi elsa Besten Dank für Deinen Warnruf! Deine Entdeckungsreisen nach Tippfehlern sind legendär,beonders auch deshalb, weil sie regelmässig von Erfolg gekrönt sind. Deshalb werde ich auf jeden Fall morgen alles genau überprüfen. Vielleicht machen andere Helfer mit. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4719 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 08:20: |
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Hi allerseits Die in meinem Beitrag erwähnte Gleichung der Quadrik muss so korrigiert werden, wie elsa beschrieben hat. Nochmals besten Dank für den Hinweis! Die Gleichung lautet also nach erfolgter Korrektur: 2 u^2 – v^2 – w^2 + 2 v w – 40 u – 2 v + 26 w + 7 = 0 Bei der Aufgabe LF 600 soll nichts verändert werden, da die Korrektur nichts Wesentliches am Typus der Fläche ändert. Außerdem ist die Aufgabe gemäß dem Urtext bereits teilweise gelöst worden. Es hat sich bei der Berechnung der Gleichung der Fläche zweiter Ordnung ein Vorzeichenfehler breit gemacht und entsprechend durchgesetzt. Er ist bei der Berechnung des Vektorprodukts p x a zur Ermittlung des Abstandes (P,g) entstanden. Dieses Produkt lautet richtig so: p x a ={v+w-9;10-u;10-u}. Dies wirkt sich in der Schlussgleichung nur auf die Koeffizienten von Termen aus, in denen w auftritt. Da beim Schnitt der Fläche mit der Geraden mm w= 0 gesetzt werden muss, erhalten wir SO oder SO die richtige quadratische Gleichung! b^2 – 20 b + 2 = 0 zur Ermittlung des Parameters b; hihi. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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