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Unabhängigkeit von Vektoren - wichtig

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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 17:17:   Beitrag drucken

Zeigen Sie: Je drei Vektoren der Menge
{(1|a|a²)|a von R} sind linear unabhängig!

Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe bitte helfen?
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 499
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 2004 - 20:50:   Beitrag drucken

Hi Omchen,

schreib dir die drei Vektoren als 3x3-Matrix untereinander und bring sie auf Dreiecksform, dann hast du im Nu die Determinante raus:

1...a...a^2
1...b...b^2
1...c...c^2

1.....a......a^2
0....b-a.....b^2-a^2
0....c-a.....c^2-a^2

jetzt erinnere dich an die 3.bin.F. und zieh (b-a)(c-a) raus, dann bleibt in der rechten unteren Ecke stehen
1....b+a
1....c+a

1....b+a
0....c-b

d.h. die Determinante ist das Produkt der paarweisen Differenzen und die sind nach Vor. alle ungleich 0, qed.

sotux
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 11:48:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

warum werden die Vektoren denn dann nicht so geschrieben:

1 ... 1 ... 1
a ... b ... c
a²... b²... c²

usw.

Omchen
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 14:07:   Beitrag drucken

Es ist völlig unerheblich, ob Du die Vektoren als Spalten- oder Zeilenvektoren aufschreibst. Der Wert der Determinante ist derselben.
Und wenn Du es ohne Determinanten machst gilt auch Spaltenrang = Zeilenrang. Es ist da also ebenso unerheblich.
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 17:21:   Beitrag drucken

Bitte nicht verzweifeln, bei der Aufgabe stehe ich heute wirklich auf der Leitung - eine letzte Frage:
ich habe zum Schluss also

1...a...a²
0...1..b+a
0...0..b-c

wie begründe ich damit, dass je 3 Vektoren der bekannten Menge linear unabhängig sind?
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 503
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 18:41:   Beitrag drucken

Hi Omchen,

Determinante ungleich 0 bedeutet voller Rang und das heisst alle Zeilen und Spalten sind linear unabhängig.

sotux
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1033
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 18:45:   Beitrag drucken

Mein Kommentar war auch nicht böse gemeint Omchen. Ich wollte lediglich darauf hinweisen, daß das Problem, was Du siehst, gar keins ist.

Was nun die Begründung angeht: Ihr habt doch bestimmt schon mit Umformungen von Matrizen gearbeitet, oder nicht? Wenn ja, werdet ihr festgestellt haben, daß sogenannte "elementare" Umformungen (Also Addition einer Zeile mit dem Vielfachen(Ausnahme:0) einer anderen) an der Unabhängigkeit nichts ändert.

Für deine Aufgabe bedeutet das, daß die drei Ausgangsvektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn es die drei zuletzt angegebenen auch sind.
Man kann aber sofort ablesen, daß die drei letzten für b¹c linear unabhängig sein müssen. (Falls Dir das nicht klar ist: überleg dir, auf wieviele Arten man einen bestimmten Vektor durch diese drei darstellen kann und achte auf die Nullen)
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Dezember, 2004 - 18:46:   Beitrag drucken

Danke sehr!
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 71
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 10:48:   Beitrag drucken

Das ist so nicht richtig, hat mein Mathe-Lehrer heute gesagt!
Er meinte das müsse eine längere Rechnung mit Fallunterscheidung sein.

am Anfang sollen die Vektoren nebeneinander sein, das ist also:

1...1...1...|.0
a...b...c...|.0
a²..b²..c²..|.0

kann ich dann in der untersten Zeile die Wurzel ziehen?
wenn ja, müsste ich ja unterscheiden zwischen +/- a etc. aber bei dieser Aufgabenart ist das ja irrelevant und ich habe dann:

1...1...1...|0
a...b...c...|0

stimmen meine Gedankengänge bisher?
und wie mache ich dann weiter?


viele Grüße
Omchen
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1034
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 14:15:   Beitrag drucken

Nein. Wurzelziehen ist keine elementare Option. Nur das Addieren mit einem Vielfachen(evt. auch negativem), sowie das Vertauschen von Zeilen oder Spalten zählt zu den elementaren Umformungen, die an der linearen Unabhängigkeit nichts ändern.

Mit den Fallunterscheidungen hat dein Lehrer prinzipiell recht, wobei Sotux und ich bereits ausgenutzt haben, daß es drei verschiedene Vektoren sein sollen. Also a{=/=}b und b{=/=}c, sowie a¹c.

Wenn das nicht vorausgesetzt wird, dann kommt die Frage ins Spiel, was ihr bislang an Stoff hattet. Vielleicht die Regel von Sarus? Mit Ihr berechnet man normalerweise Determinanten von 3x3-Matrizen und dann hättest Du direkt ein Polynom, an dem Du ablesen kannst, wann die Vektoren linear unabhängig sind. Der Weg ist allerdings recht mühsam im Vergleich zu der Lösung von Sotux.

1a
det(1b)=1bc²+1ab²+1ca²-1ba²-1cb²-1ac²
1c

und man formt dann weiter um:
1bc²+1ab²+1ca²-ba²-cb²-ac² = c²(b-a)+c(a²-b²)+ab(b-a) = (b-a)(c²-c(a+b)+ab) = (b-a)(c-a)(c-b)

Nun sieht man direkt, dass dies nur dann 0 wird, wenn b=a oder a=c oder b=c, was aber bei drei verschiedenen Vektoren nicht sein kann.

Ohne die Determinantentheorie musst Du mit Umformungen auskommen und das geht dann schon so, wie von Sutox vorgeschlagen. Du musst halt nur deutlich machen, daß Du drei verschiedene Vektoren betrachtest und was daraus folgt.
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 506
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 18:13:   Beitrag drucken

Hi,

vielleicht hat dein Lehrer ja auch die Methode für den allgemeinen Fall der Dimension n im Hinterkopf, der Beweis geht über den Entwicklungssatz und Induktion über n. Das findest du in der Literatur unter Vandermonde-Determinante, ist nur für den Fall n=3 aber unnötig kompliziert.

sotux
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Omchen (Omchen)
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Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 72
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Dezember, 2004 - 18:29:   Beitrag drucken

Sarus ist uns noch nicht begegnet. wir hatten für die LGS das Gauss-Verfahren und später die Cramersche Regel. Kann man das davon irgendwie ableiten?
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 76
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 12:04:   Beitrag drucken

Hallo!
Kann ich beweisen, dass je drei Vektoren der Menge unabhängig sind, wenn ich das so anfange?
Ich komme nur an einer Stelle nicht weiter:

(1...1...1...|.0) |*(-b) |*(-b²)
(a...b...c...|.0)
(a²..b²..c²..|.0)

(1.....1.....1...|.0)
(a-b...0....c-b..|.0) |*(-a-b)
(a²-b².0...c²-b².|.0)

(1...1...1.......|.0)
(a-b.0...c-b.....|.0)
(0...0..-ac-bc+ab+c².|.0)

-> -ac-bc+ab+c²=0
-> (a-c)*(b-c)=0

Was muss ich dann machen um die Unabhängigkeit zu beweisen???
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1765
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 13:41:   Beitrag drucken

Hallo Omchen,

um zu untersuchen, ob die Vektoren (1,a,a²), (1,b,b²), (1,b,b²) linear unabhängig sind, musst du untersuchen, welche (r,s,t) die Gleichung
(*) r(1,a,a²) + s(1,b,b²) + t(1,b,b²) = 0
lösen.

Beachte, dass a, b und c paarweise verschieden sind!

Das hast du ja auch gemacht. Und du erhältst für eine Lösung von (*) die (äquivalente) Bedingung
r + s + t = 0
r(a - b) + t(c - b) = 0
t(a - c)(b - c) = 0

Da a, b und c verscheiden sind, sind a - c und b - c nicht Null.

Aus t(a - c)(b - c) = 0 folgt somit t = 0.

Daher
r + s = 0
r(a - b) = 0

Da a - b nicht Null ist, folgt r = 0.

Daraus folgt s = 0.

Also ist die Gleichung (*) nur für r = s = t = 0 lösbar. Somit sind die Vektoren linear unabhängig.
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Omchen (Omchen)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Omchen

Nummer des Beitrags: 77
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 17:26:   Beitrag drucken

Danke sehr für die Hilfe!

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