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_caro_ (_caro_)
Junior Mitglied Benutzername: _caro_
Nummer des Beitrags: 20 Registriert: 09-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. November, 2004 - 17:40: |
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Mal wieder eine Aufgabe, bei der ich einfach keinen Ansatz habe an sie dran zu gehen. Ich hoffe mir kann auch hier weitergeholfen werden...Danke! Nach 2 Monaten Mast haben durchschnittlich 70% der Kälber das erforderliche Schlachtgewicht erreicht. Ein Bauer mästet 12 Kälber 2 Monate lang. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er mindestens 10 schlachtreife Kälber? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4659 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 07:00: |
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Hi Carola Deine Aufgabe kann mit Hilfe der Binomialverteilung gelöst werden. Wir summieren für n = 12 die b-Werte b(n, p, k) von k = 10 an bis und mit 12, da „mindestens 10“ gleichbedeutend ist mit k = 10,11,12. Für die Anzahl n der Versuche gilt also n = 12, die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p = 0,7, die zugehörige Gegenwahrscheinlichkeit q = 0,3. Sei B(r,s) der Binomialkoeffizient r über s, also B(r,s) = r! / [s! / (r-s)!] ö Es gilt bekanntlich: b(n, p, k) = B(n,k) * p^k * q^(12 - k) In unserem Fall: b(12 , 0,7, k) = B(12,k) * (0,7)^k * (0,3)^(12 - k) Wir setzen der Reihe nach k = 10,11,12 ein und addieren diese drei Terme. Es entsteht als Näherung die Summe 0,2528 für die im Aufgabentext gesuchte Wahrscheinlichkeit. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4660 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 07:24: |
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Hi Carola, Es folgt eine interessante Zusatzaufgabe. Mischt man dem Futter der Kälber regelmäßig etwas Kraftfutter „FORS“ (Name gesetzlich geschützt) bei, so erreicht man damit, dass nach 2 Monaten Mast durchschnittlich 80% der Kälber das erforderliche Schlachtgewicht erreicht. Man zeige rechnerisch, dass die im Aufgabentext erwähnte Wahrscheinlichkeit jetzt größer als 50% ist. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4661 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 15:18: |
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Hi Carola Bei der Zusatzaufgabe erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit S den Näherungswert. S ~ 0,5583 Dieser Wert sowie der früher ermittelte Wert 0,2528 wurden beide mit Maple berechnet. Man kommt auch mit Hilfe von Tabellen zum Ziel, indem man die so genannten F-Tabellen benützt. Das sind Tabellen, in denen die Werte der Binomialverteilung summiert vorliegen, im folgenden Sinn: F(n,p,k) = sum[b(n,p,j)] Der Summationsindex j läuft von j = 0 bis j = k In unserem Beispiel müssen wir die Summe s bestimmen: s = b(12 , 0,7, 10) + b(12 , 0,7, 11) + b(12 , 0,7, 12). s ist identisch mit dem Ausdruck s = 1 - F(12, 0,7, 9), denn das Ereignis „mindestens 10 Erfolge“ ist das Gegenereignis zu „höchstens 9 Erfolge“. Wir suchen den Wert für Z = F(12, 0,7, 9) in einer Tabelle, z.B. im Anhang des Stochastik-Lehrbuches aus dem Cornelsen - Verlag. Achtung: Weil p > 0.5 ist, gilt der untere Tabelleneingang und der Zutritt von rechts. Wir lesen ab: 0,2528 Beim genannten Tabelleneingang (p>0,5) gilt: F(n,p,k)) = 1 – abgelesener Wert, also hier Z = 0,7472. Da dies wiederum auf eins zu ergänzen ist, landen wir beim Ergebnis s = 0,2528 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4662 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Dezember, 2004 - 16:15: |
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Hi Carola Man kann Deine Aufgabe auch mit der Poisson-Verteilung angehen!! Das Resultat sei vorweggenommen. Poisson liefert die Wahrscheinlichkeit: 0,2491 °°°°°°° Bestätigung Es geht zuerst darum, den Mittelwert a = n * p zu bestimmen; es gilt n = 12 (Anzahl der Kälber), p = 0,7, somit a = 8,4 Nun benützen wir die Grundformel von Poisson: p(x) = a^x / x! * e^(-a). Was ist die Bedeutung von p(x)? Diese p(x) sind zu summieren und zwar folgendermaßen: mindestens 10 schlachtreife Kälber bedeutet 10,11,12 schlachtreife Kälber. Berechnung der Summe s: Summation der p(x) für x = 10 bis und mit x = 12 s = p(10) + p(11) + p(12) ? s = e^(-8.4)*[8.4^10/10!+8.4^11/11!+8.4^12/12!] ~ 0,2491 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
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