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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 08:28: |
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Hallo Ich soll für die Kurve, 2 x ^2 +3 x y - 2 y ^ 2 - 4 x - 3 y - 23 = 0 die Steigungen der Asymptoten berechnen. Wie kann ich das machen? Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar Miro 2004
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1214 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 13:50: |
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Hi, das ist ganz einfach: Dividiere die Gleichung durch x^2: 2 + 3 (y/x) - 2 (y/x)^2 - 4/x - 3 y / x^2 - 23/x^2 = 0 Lasse nun x ad infinitum laufen. der Term y/x und nur dieser wird zur Steigung m der Asymptoten! Der Rest wir zu null! Wir erhalten also eine schöne quadratische Gleichung in m: 2m^2 - 3m - 2 = 0 mit m = 2 und m = -(1/2) mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3728 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 15:19: |
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Hi Miro 2004 Die Gleichung in x,y ist quadratisch; es handelt sich um einen Kegelschnitt, offensichtlich um eine Hyperbel. Im Folgenden beziehe ich mich auf die übliche Darstellung der allgemeinen Gleichung zweiten Grades in x und y: A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0. In dem von Dir vorgelegten Kegelschnitt (KS) gilt A = 2, B =3/2, C = - 2 , D = - 2 , E = - 3/2 , F = 23. Bevor man zur Hauptachsentransformation übergeht, lässt sich die Art des KS mit einer einfachen Determinante ermitteln. Wir berechnen den Term delta = A C – B^2 = - 25/4 Da delta negativ wird, handelt es sich um eine Hyperbel. Die Steigungen m1, m2 der Asymptoten ergeben sich aus der quadratischen Gleichung in m: C m^2 + 2 B m + A = 0 , also - 2 m^2 + 3 m + 2 = 0 ; Lösungen: m1 = 2 , m2 = -1/2 Da die Asymptoten aufeinander senkrecht stehen, handelt es sich um eine Normalhyperbel. Mehr ist nicht gefragt. Ferdi hat auch schon geantwortet,wie ich soeben feststelle Daher Ende gut, alles gut! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 15:50: |
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Hallo Ferdi, Hallo megamath Ich danke Euch für die rasche Hilfe Ich habe den Grundgedanken, so glaube ich, erfasst. Wie müsste man vorgehen, wenn die Gleichungen der Asymptoten anzugeben sind? Nochmals: vielen Dank! Mit freundlichen Grüßen Miro 2004
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3733 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. März, 2004 - 20:38: |
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Hi Miro2004 Die Gleichung einer Asymptote kann folgendermaßen gefunden werden: Wir zeigen die Berechnung für diejenige Asymptote a1, deren Steigung m = 2 beträgt. Ansatz für eine Gleichung von a1: y = 2 x + q Es geht nun darum, die Konstante q zu ermitteln. Wir setzen den Ansatz in die Gleichung der Hyperbel ein und vereinfachen; bezeichnenderweise heben sich die quadratischen Terme in x weg! Es bleibt: - 5 q x – 2 q^2 – 10 x – 3 q – 23 = 0 Jetzt dividieren wir beide Seiten mit x; es kommt: 5 q + 2 q^2 / x + 10 + 3 q / x + 23 / x = 0 Lassen wir x gegen unendlich sterben so erhalten wir eine Gleichung für q , nämlich: 5 q + 10 = 0 q = - 2 Die Gleichung der ersten Asymptote lautet: y = 2 x – 2. °°°°°°°°°°° Analog erhält man für die zweite Asymptote die Gleichung y = - ½ x + ½ °°°°°°°°°°°°°° Die Asymptoten schneiden sich im Mittelpunkt M(1/0) der Hyperbel. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3734 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 09:45: |
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Hi Miro2004-03-21 Es gibt noch einen anderen Weg, die Gleichungen der Asymptoten aufzustellen, wenn ihre Steigungen gegeben sind. Man ermittelt die Koordinaten des Mittelpunktes M der Hyperbel durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung. Wir erhalten aus 2 x ^2 + 3 x y - 2 y ^ 2 - 4 x - 3 y - 23 = 0 durch Differentiation: 4 x + 3 y + 3 x y´- 4 y y´- 4 – 3 y´= 0 Auflösung nach y´: y´= [4 – 4 x – 3 y ] / [ 3 x – 4 y – 3] Setze einerseits y´= 0, andrerseits 1/y´= 0. Wir erhalten damit ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koordinaten von M: 4 – 4 x – 3 y = 0 3 x – 4 y – 3 = 0 Lösung: x= 1, y = 0, also M(1/0). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Neues Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 19:47: |
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Hallo megamath Vielen herzlichen Dank für Deine Lösung. Sie hat mich beeindruckt: eine Sternstunde! Mit freundlichen Grüßen Miro 2004
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3740 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. März, 2004 - 20:00: |
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Hi Miro 2004 Danke für die lobenden Worte! Du findest weitere Sterne, sogar den Polarstern. Schau bei der laufenden Serie „Lockere Folge (LF)“ weiter unten nach. Dort findest Du Methoden, wie man die Asymptoten bei der Polarkoordinatendarstellung von Kurven findet. Das ist auch recht interessant und vor allem lehrreich! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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