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Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 17:19: | 
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Gegeben sind der Kreis K und ein Punkt P des Kreises. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an K in P in Parameterfrom.
K : (x1 - 1)² + (x2-2)² = 9
P(1/ ?)
Danke im voraus! |
Katrin000 (Katrin000)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 15:12: |
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Würd mich freuen, wenn wer helfen könnte.. Punkt P kann ich alleine bestimmen (einfach einsetzen und dann x2 berechnen). Es gibt zwei Punkte P.. Nur wie mache ich dann weiter? Eine Gerade ist doch immer durch zwei Punkte festgelegt! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 870
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Januar, 2004 - 22:28: |
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Hallo!
Eine Gerade kann auch statt durch zwei Punkte durch EINEN Punkt und den Richtungsvektor (oder Normalvektor) festgelegt werden. Daraus erst gelangt man zur Parameterform!
Eine Möglichkeit: Spaltformel!
Diese leitet sich aus der Tatsache ab, dass Tangente und Berührungsradius senkrecht aufeinander stehen.
Für den Kreis
(x1 - m)² + (x2 - n)² = r² [Kreis (M(m|n);r]
und einen Berührungspunkt T(x1'|x2') AUF dem Kreis lautet die Gleichung der Tangente:
(x1' - m)*(x1 - m) + (x2' - x2)*(x2 - n) = r²
Im Beispiel ist zunächst der x2-Wert von P zu berechnen:
0 + (x2 - 2)² = 9
x2 - 2 = +3 ODER x2 - 2 = -3
x2 = 5 ODER x2 = -1
P1(1|5) bzw. P2(1|-1)
Tangenten:
t1:
(1 - 1)(x1 - 1) + (5 - 2)*(x2 - 2) = 9
3*(x2- 2) = 9
x2 = 5 (Parallele zu x1 - Achse)
°°°°°°
t2:
(1 - 1)(x1 - 1) + (-1 - 2)*(x2 - 2) = 9
-3*(x2- 2) = 9
x2 = -1 (Parallele zu x1 - Achse)
°°°°°°°
Diese beiden Tangentengleichungen sind noch die (parameterfreien) Normalvektorgleichungen. Parametergleichungen erhält man, wenn man einen Anfangspunkt festlegt und dort ein Vielfaches (das r, s, t .. -fache ) des Richtungsvektors ansetzt. Als Anfangspunkte können wir P1 und P2 nehmen, beide Richtungsvektoren sind (1;0), weil der Normalvektor (0;1) beträgt.
t1: X = (1;5) + r*(1;0)
t2: X = (1;-1) + s*(1;0)
Falls ohne Spaltformel gerechnet werden soll, geht's auch so:
(hier für P1 gezeigt)
Vekt(MP1) ist der Normalvektor der Tangente!
Vekt(MP1) = (0;3)
Der Richtungsvektor der Tangente ist darauf senkrecht: -> (-3;0) (vertauschen, eine Komp. negativ!). Den Richtungsvektor kann man abkürzen, hier durch (-3) dividieren -> (1;0)
Somit:
t1: X = (1;5) + r*(1;0)
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 08., Januar. 2004 von mythos2002 editiert) |
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