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Troy (Troy)
Neues Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Oktober, 2003 - 20:24: |
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1. Partialbruchzerlegung für die rationale Funktion: r(z)=(16*z^3)/[(z^2+1)^3] 2. Partialbruchzerlegung von: r(x)=1/[(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)] 3. Man bestimme den Hauptteil der rationalen Funktion r(z)=4/[(x-1)^2*(x^5+2x+1)] zur Nullstelle x(Index 0)=1 des Nenners Ich wäre wirklich sehr dankbar wenn diese Beispiele jemand Schritt für Schritt verständlich erklären könnte! Ich komme hier auf keine brauchbare Lösung.... vielen Dank! |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 238 Registriert: 10-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 15:15: |
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2) 1/[x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)] = s1/x + s2/(x-1) + s3/(x-2) + s4/(x-3) + s5(x-4) + s6(x-5) + s7/(x-6) + s8/(x-7) Multipliziere mit x*(x-1)*...*(x-6)*(x-7) (dauert echt lange) 1 = (s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6 + s7)*x^7 - (28s1 + 27s2 + 26 s3 + 25s4 + 24s5 + 23s6 + 22s7 + 21s8)*x^6 + (322s1 + 295s2 + 270s3 + 247s4 + 226s5 + 207s6 + 190s7 + 175s8)*x^5 - (1960s1 + 1665s2 + 1420s3 + 1219s4 + 1059s5 + 925s6 + 820s7 + 735s8)*x^4 + (6769s1 + 5104s2 + 3929s3 + 3112s4 + 2545s5 + 2144s6 + 1849s7 + 1624s8)*x^3 - (13132s1 + 8028s1 + 5274s3 + 3796s4 + 2952s5 + 2412s6 + 2038s7 + 1764s8)+x^2 + (13068s1 + 5040s2 + 2520s3 + 1680s4 + 1260s5 + 1008s6 + 840s7 + 720s8)x - 5040s1 dann folgt: 1 = -5040s1 <=> s1 = -1/5040 Man setzt s1 ein, macht Koeffizientenvergleich weiter und erhält ein LGS: s2 + s3 + s4 + s5 + s6 + s7 + s8 - 1/5040 = 0 ... Beim Lösen hab ich mich sicher verrechnet, auch kein Wunder bei den Zahlen! hier meine Lösung: s2 = 657647/421180560 s3 = -875669/140393520 s4 = 137671/9359568 s5 = -1747757/84236112 s6 = 2401823/14039520 s7 = -355693/467976840 s8 = 4145999/2948263920 Vielleicht fällt dir auch eine bessere Methode ein, so ist das nämlich unzumutbar viel Arbeit! ; -------------------------------------------- Eine Partialbruchzerlegung von deinem Term 1) ist viel leichter! 16z^3/[(z^2+1)^3] (16z^3 + 16z)/[(z^2 +1)^3] = 16z(z^2+1)/(z^2+1)^3 = 16z/(z^2+1)^2 aber (16z^3 + 16z)/[(z^2 +1)^3] ist auch 16z^3/[(z^2+1)^3] + 16z/[(z^2+1)^3] eine Partialbruchzerlegung ist somit 16z^3/(z^2+1)^3 = 16z(z^2+1)^2 - 16z/(z^2 +1)^3 Bei der 3) kann ich nicht helfen versuchen, weil ich nicht weiß, was ein Hauptteil einer Funktion ist.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2727 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 17:08: |
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Hi Troy,Hi Spezi ! ich werde Euch noch heute zeigen, wie man die Aufgabe 2) kunstgerecht lösen kann. @ Spezi Meine Anerkennung für Deine fleissige und umfangreiche Rechnung ! MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2728 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 18:00: |
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Hi Troy, Hi Spezi Teilaufgabe 2): Zuerst etwas Theorie. Gegeben sei die gebrochene rationale Funktion R(x) = P(x) / Q(x) Voraussetzungen: Q(a1) = Q(a2) = …= Q(aq) = 0 ai sind die einfachen Nullstellen des Nenners. P(ai) ist nicht null für i = 1,2 ,…,q. Keine Sorge: in unserem Beispiel gilt: P(ai) ist 1 für alle i. Weiter im Text: Es ist die Ableitungen Q´ (x) von Q (x) zu ermitteln. Das geht mit der Produktregel, wenn Q schon in Faktoren zerlegt ist. Von Q ´ (x) wird verlangt, dass sie an den genannten Stellen ai von null verschieden ist. Sind diese Voraussetzungen erfüllt, so lautet die Partialbruchzerlegung von R(x) folgendermassen: R(x) = P(x) / Q(x) = c1/(x-a1) + c2/(x-a2) + c3/(x-a3) +……+ cq/(x-aq), wobei gilt: ci = P(ai) / Q´ (ai ) für alle i =1…q. Beachte. Im Zähler der Koeffizienten ci stehen die Funktionswerte von P(x) an den Nullstellen ai des Nenners Q(x) Im Nenner der Koeffizienten ci stehen die Funktionswerte der ABLEITUNG von Q(x) an denselben Stellen ai. Zerlege als Übung: 1/ [(x-1)(x-2)(x-3)] Um die Ableitung Q´ des Nenners Q zu finden, verwende die Produktregel für drei Faktoren: „Der Ableitungsstrich wandert von einem Faktor zum andern“. NICHT die Klammern lösen! Auflösung bitte einsenden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2730 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Oktober, 2003 - 19:38: |
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Hi Troy, Hi Spezi Ich löse die kleine Übungsaufgabe mit drei Faktoren im Nenner: Q(x) = (x-1) (x- 2) (x-3) Ableitung nach x mit der erweiterten Produktregel: Q´(x) = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2) Sofort kommen: Q´(1) = 2, Q´(2) = -1, Q´(3) = 2 Reziprokwerte: ½ ,-1, ½ Jedes Mal werden zwei Summanden null, hihi ! Somit 1 / [(x-1) (x- 2) (x-3)] = ½ / (x-1) – 1 / (x-2) + ½ / (x-3) Voilà MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2732 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 09:14: |
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Hi Troy, Hi Spezi Der Vollständigkeit halber gebe ich hier noch das Resultat für den Fall von sieben Faktoren im Nenner, wie sie in Aufgabe 2) auftreten. Die Werte der Ableitungen des Nenners Q(x) an seinen Nullstellen sind, wie man leicht mit der erweiterten Produktregel findet: Q´(1) = 6! Q´(2) = - 5! Q´(3) = 2! * 4! Q´(4) = - 3! * 3! Q´(5) = 2! * 4! Q´(6) = - 5! Q´(7) = 6! Die Kehrwerte dieser Zahlen stehen in den Zählern der Partialbrüche. Bitte nachrechnen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Troy (Troy)
Junior Mitglied Benutzername: Troy
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 03. Oktober, 2003 - 12:21: |
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Vielen Dank für eure Antworten, ich werde alles Schritt für Schritt nochmal nachrechnen + neue Aufgaben zu lösen versuchen ;) |