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Katrin (katrin000)
Mitglied Benutzername: katrin000
Nummer des Beitrags: 20 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 15:19: |
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1) Für welche a1, a2 Element R ist das Gleichungssystem x1-x2 = a1 x1+x3=a2 x2+x3 = 1 lösbar? 2) Für welche s, t Element R ist das folgende Gleichungssystem lösbar? (2-t)x1 + 2tx2 - 3x3 = 2+t 2tx1 + (5-t)x2 - 6x3 = 5+ t -3x1 - 6x2 + sx3 = -9 Vielen Dank im voraus. |
Katrin000 (Katrin000)
Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 23 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 09:56: |
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Kann mir vielleicht jemand bei 2) helfen? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1432 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 10:49: |
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NennerDeterminante: (2-t)(5-t)s + 2t(-6)(-3) + (-3)2t(-6) - [(2-t)6(-6) + 2t2ts + (-3)(5-t)(-3)] = [10 + 72t - 7ts + t²s] - [-27 + 27t + 4t²s] = -3t²s -7ts + 45t - 17 muß ungleich 0 sein s*(-3t² - 7t) <> 17 - 45t s <> (45t-17)/[t*(3t+7)] |
Katrin000 (Katrin000)
Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 25 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 15:14: |
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Danke! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2609 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 21:37: |
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Hi Auch die Lösung dieser Aufgabe muss gründlich und prinzipiell überdacht werden! Am besten übergeben wir das Problem an Mythos ! Er ist Spezialist, auch auf diesem Gebiet. Ich erhalte das folgende Ergebnis Die vier Determinanten lauten: D = 10 s – 7 s t - 117 - 3 s t ^2 + 117 t Das ist die Hauptdeterminante; falls sie nicht null ist, erscheint sie als Nenner in den Auflösungsformeln für die Unbekannten x , y , z gemäss Cramer. Die andern Determinanten sind: Dx = Dy = D ; Dz = 0 1.Fall D ist von null verschieden Dann gibt es genau eine Lösung, nämlich x = 1 , y = 1, z = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°° 2.Fall D ist null Dann sind auch die andern Determinanten alle null, und das System hat unendlich viele Lösungen Ich zeige das für s = t = 1: u sei ein reeller Parameter, dann haben wir als Lösungen: x = 3 – 2 u , y = u , z = 0 Warnung: Es genügt nicht, nur die Hauptdeterminante zu Rate zu ziehen So weit so gut Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 667 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 01:49: |
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@Katrin, wenn ich mich nicht irre, hast du kurz hintereinander insgesamt 4 Threads zu ganz ähnlichen Themen gepostet. Zwei davon (2 Aufgaben .. / lin. Unabhängikeit) habe ich ausführlich behandelt. Führe dir bitte mal diese Antworten (und auch die konforme oben von megamath) zu Gemüte, ich denke, dir wird dabei vielleicht einiges klar werden. Im Falle noch anstehender Schwierigkeiten kann selbstverständlich noch weitere Hilfe geboten werden (- kann ich mich morgen bzw. heute damit befassen). Gr mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 670 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 09:51: |
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Hi, mal zu 1. Für die Lösbarkeit des LGS müssen wieder die bereits bekannten Kriterien gelten: D <> 0 für eine eindeutige Lösung, oder D = 0, Dx = Dy = Dz = 0 für unendlich viele Lösungen Weil hier |1-1 0| |1 0 1| = D = 0 |0 1 1| ist, kommt nur der zweite Fall in Betracht! |a1 -1 0| |a2 0 1 | = Dx = 0 | 1 1 1 | 3. Zeile von der 2. subtr. --> | a1 -1 0 | |a2-1 -1 0| = Dx = 0 | 1 1 1 | -a1 - 1 + a2 = 0 a2 - a1 = 1 =========== Diesselbe Beziehung muss natürlich auch aus: Dy = 0 bzw. Dz = 0 resultieren, daher zur Probe: |1 a1 0| |1 a2 1| = Dy = 0 |0 1 1 | a2 - 1 - a1 = 0 -> a2 - a1 = 0 und | 1 -1 a1 | |0 1 a2-a1| = Dz = 0 | 0 1 1 | 1 - a2 + a1 = 0 -> a2 - a1 = 1 Das LGS ist also dann lösbar, wenn a2 - a1 = 1 bzw. a2 = a1 + 1 ist. Dessen Lösung gestaltet sich nun wie folgt (für a2 = a1 + 1 setzen): x - y = a1 x + z = a1 + 1 y + z = 1 --------------- z + y = 1 (2. Zeile - 1. Zeile) y = s (Parameter s beliebig € R) z = -s + 1 x = s + a1 Die Lösungsmenge: L = {(x;y;z) | x = s + a1; y = s; z = -s+1; s € R} Geometrisch ist dies wieder eine Schnittgerade von drei Ebenen: X = (a1; 0; 1) + s*(1; 0; -1) Gr mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 29 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 12:53: |
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Vielen vielen Dank für die Hilfe bei den 4 Threads! Drucke jetzt alles aus und melde mich bei Fragen noch einmal! |
Katrin000 (Katrin000)
Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 30 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 13:25: |
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Hier noch eine Frage zu 2): 1.Fall D ist von null verschieden Dann gibt es genau eine Lösung, nämlich x = 1 , y = 1, z = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°° 2.Fall D ist null Dann sind auch die andern Determinanten alle null, und das System hat unendlich viele Lösungen Ich zeige das für s = t = 1: u sei ein reeller Parameter, dann haben wir als Lösungen: x = 3 – 2 u , y = u , z = 0 Wie kommt man auf die Lösung vom 1.Fall? |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 671 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 14:10: |
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Hi, noch etwas (damit dein Ausdruck stimmt)! Friedrich's Lösung bei 2. stimmt nicht. |2-t 2t -3| |2t 5-t -6| = D = | -3 -6 s | | 2-t 2t -3 | |4t-4 5-5t 0| = | -3 -6 s | = -3(-24t + 24 + 15 - 15t) + s(10 - 15t + 5t² - 8t² + 8t) = = 117*(t - 1) - s*(3t² + 7t - 10) = = (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)] Somit gilt, dass das System dann eine eindeutige Lösung hat, wenn t <> 1 UND s <> 117/(3t + 10) und wegen des Nenners t <> -10/3 ist. Dass in diesem Falle (zufällig) die Lösung NICHT von t und s abhängt, hat Megamath bereits gezeigt (es ist allgemein die Cramer'sche Regel anzuwenden). Im Falle von unendlich vielen Lösungen gilt wieder: D = Dx = Dy = Dz = 0 D = 0 -> t = 1 ODER s = 117/(3t + 10), gehen wir beispielsweise mit t = 1 weiter (dabei muss s <> 9 sein): x + 2y - 3z = 3 2x + 4y - 6z = 6 -3x - 6y + sz = -9 ------------------- wir erkennen jetzt schon, dass die Zeilen 1 und 2 voneinander abhängig sind, somit auch Dx, Dy und Dz = 0 sind; -> 3x + 6y - 9z = 9 -3x - 6y + sz = -9 ------------------ z*(s - 9) = 0 z = 0, ist zwingend, kann nicht gewählt werden, daher setze y = u; -> x = 3 - 2u (aus 1) Die Lösungsmenge: L = {(x;y;z) | x = 3 - 2u; y = u; z = 0); u € R} Gr mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 672 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 14:57: |
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Hi, nun haben sich unsere Postings gekreuzt, weil ich doch etwas länger mit dem Problem beschäftigt war. Fall 2. wird dir jetzt klar sein, Fall 1. Wir wenden die Cramer'sche Regel allgemein an: D hatten wir ja schon: |2-t 2t -3| |2t 5-t -6| = D = | -3 -6 s | | 2-t 2t -3 | |4t-4 5-5t 0| = | -3 -6 s | = -3(-24t + 24 + 15 - 15t) + s(10 - 15t + 5t² - 8t² + 8t) = = 117*(t - 1) - s*(3t² + 7t - 10) = = (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)] nun beispielsweise Dx: |2+t 2t -3 | |1-t 5-t -6| = Dx = | -9 -6 s | | 2+t 2t -3 | |1-t 5-5t 0| = | -9 -6 s | = -3(-6 + 6t + 45 - 45t) + s(10 - 5t - 5t² - 2t + 2t²) = = -3*(39 - 39t) + s*(10 - 5t - 3t²) = = 117*(t - 1) - s*(t - 1)*(3t + 10) = (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)], identisch mit D! Dx = D x = Dx/D = 1 desgleichen kommen Dy = D, Dz = 0 Gr mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
Mitglied Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 39 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 13:29: |
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Hier doch noch einmal eine Frage zu 2): Wie kommt man darauf, so auszuklammern?? = -3(-24t + 24 + 15 - 15t) + s(10 - 15t + 5t² - 8t² + 8t) = = 117*(t - 1) - s*(3t² + 7t - 10) = = (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)] Das fällt doch einem normalen Schüler nicht auf!? |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2684 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 15:00: |
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Hi Katrin,24.09.16:00 Ein normaler Lehrer (solche gibt es schon) wird seine Schüler rechtzeitig darauf aufmerksam machen, dass quadratische Funktionen y = a x ^ 2 + b x + c mit Hilfe ihrer Nullstellen x1, x2 in Linearfaktoren zerlegt werden können: Resultat: y = a ( x – x1) (x - x2) Machen wir die Probe aufs Exempel: Sei y =3 x ^ 2 + 7 x – 10 (es steht x statt t) Du findest leicht die Nullstellen, nämlich x1 = 1 und x2 = - 10 / 3, somit lautet die Faktorzerlegung: y = 3 (x – 1) (x + 10/3) = (x - 1) (3x + 10) Die erste Nullstelle x1 = 1 kann man erahnen, die zweite kann man im Kopf rechnen, z.B mit Vieta: es muss ja gelten x1 * x2 = - 10/3 oder x1 + x2 = - 7/3 Voilà Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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