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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2535 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 20:35: |
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Hi allerseits, In der Dreiecksaufgabe 39 wird ein Dreieck ABC gegeben durch den Flächeninhalt F, den Umfang u und die Seite a. Die übrigen Seiten b und c befriedigen eine gewisse quadratische Gleichung z ^ 2 + p z + q = 0 a) Berechne p und q für das numerische Beispiel F = 84, u = 42, a = 15. b) Ermittle p und q für den allgemeinen Fall. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1378 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 21:04: |
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die 4te Angabe ist doch überflüssig. (F,a) => ha, die Punkte BC der Seite a sind die Brennpunkte einer Ellipse mit (u-a)/2 langer großer Halbachse g, und die 4 Schnittpunkte dieser Ellipse mit Parallelen zu g im Abstand ha von g sind die möglichen Lösungen für den Ort des 3eckspunktes A.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2537 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 22:38: |
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Hi Friedrich, Da hat sich ein Missverständnis eingeschlichen ! Natürlich gebe ich zur Bestimmung eines Dreiecks nicht vier unabhänige Daten ,hihi. Da habe ich zu viel Erfahrung,diesen Lapsus zu begehen. Ich habe nur darum gebeten das Ergebnis in die letzte Form einzukleiden, nur ein bisschen !* Ich habe aber nichts dagegen,wenn Du die einzelnen numerichen Werte der Seiten b, c mitteilst. Vielen Dank im Voraus ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 215 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 17:52: |
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Hi megamath, Zu a) Da es sich um ein besonderes Dreieck handelt,kannte ich die Lösung für b und c: b=13;c=14 => p=-27;q=182 => z2-27z+182=0 Man erhält natürlich wieder z1=13;z2=14 Zu b) b2+pb+q=0 c2+pc+q=0 => p=-(b+c) q=b*c (Vietascher Wurzelsatz) Gruß,Olaf (Beitrag nachträglich am 04., September. 2003 von heavyweight editiert) |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 861 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:13: |
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Hi, die Frage stellt sich mir, der schon etwas länger an der Aufgabe rechnet, wie man auf b und c kommt, ohne das Dreieck vorher zu kennen! Meine Überlegungen stocken schon ziemlich früh: Der Umfang beträgt 42. ==> a+b+c=42 ==> b+c=27 = -p nach Vieta. Doch nun hänge ich, wie komme ich nun weiter, rechnerisch... mfg |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 216 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:20: |
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Hi Ferdi, Ich versuche mich auch grad an einer Lösung. Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2539 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:29: |
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Hi Ferdi, Die Sache mit Vieta ist ein Gag uind lenkt vom Wesentlichen ab,sorry. Setze diesen Satz ja nicht am Anfang ein,sondern am Schluss,wie es Olaf gemacht hat. Die Hauptrechnung wickelt sich über eine Ellipsengleichung ab, wie es Friedrich gestern empfohlen hat. Soll ich die Berechnungen jetzt vorführen oder damit noch zuwarten ?
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 217 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:44: |
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Hi, Die Formel von Heron muß erfüllt sein: 1) 16*F2=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) U=a+b+c 42=15+b+c => 2) b=27-c 3) a=15 2) und 3) in 1): => c1=14;c2=13 Gruß,Olaf |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 862 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:50: |
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Hm, das scheint zu gehen Olaf! Mich würde aber auch interessieren, wie man eine Ellipse in eine Dreiecksaufgabe integrieren kann, das ist mir völlig neu. Leider muss ich jetzt wieder los. Morgen ist Praktische und theoretische Sanitätsprüfung und am Samstag ist "Tag der offenen Tür" (falls ihr mich besuchen wollt, in der General Weber Kaserne ), bin also erst Sonntag wieder da! Würde mich trotzdem über eine Antwort freuen! mfg |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 218 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 19:11: |
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P.S: Eigentlich poste ich keine halben Rechnungen.megamath wollte die numerischen Werte für b und c aber schon bekannt geben/geben lassen. mfg Olaf |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 219 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 19:45: |
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Hi megamath, Ich bin nun etwas verwirrt. Was hat die quadratische Gleichung nun für eine Funktion? Hat sie eine allgemeine Gültigkeit,oder war sie ein Spaß? Gruß,Olaf (Beitrag nachträglich am 04., September. 2003 von heavyweight editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2540 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 20:27: |
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Hi Ferdi,Hi olaf Es freut mich, dass diese Aufgabe bei Euch Anklang findet. Zuerst ein Paar Worte zur quadratischen Gleichung,die wie ein deus ex machina erscheint. Mit den Lösungen b, c bilde ich die Summe b+ c = 27 und das Prrodukt b c = 182. Damit sielle ich nach Vieta die quadratische Gleichung in z dar: z^2 - 27 z + 182 = 0, die nun gerade die Lösungen 14 und 13 hat,oder eben 13 und 14 ,wie es Euch gefällt.. Das ist alles. Es würde mich interessieren,ob es ausser der angedeuteten narrensichern Lösung mit der Ellipse noch andere Methoden gibt. Ich bin gspannt,ob Heron funktioniert Soll ich meine Ellipsenlösung jetzt bringen ? MfG H.R.Moser,megamath.
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 220 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 20:38: |
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Hi megamath, Bisher fand jede Deiner Aufgaben bei mir Anklang.Leider machen einem andere Verpflichtungen oft im wahrsten Sinne des Wortes "einen Strich durch die Rechnung". Ich weiß nicht,ob ich allgemein mit Heron ans Ziel komme.Werde es aber spätestens morgen abend wissen... Ich bin gespannt auf Deine Lösung! Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2542 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 20:43: |
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Hi allerseits, Die Dreiecksaufgabe 39 soll nun im Détail gelöst werden;das geht so: Die Summe der Seiten b und c ist u – a = 27 Wir legen die Seite a = BC auf die x.Achse eines rechtwinkligen (x,y) Koordinatensystems und zwar so dass O zum Mittelpunkt der Strecke BC wird. Die Koordinaten dieser Eckpunkte sind: B(-7,5/0) C(7,5/0). Die Ecke A liegt auf eine Ellipse, deren Brennpunkte mit B und C je identisch sind; ihre lineare Exzentrizität ist e = 7,5, die große Halbachse m = ½ (b+c) = 13,5. Aus e und m berechnen wir die kleine Halbachse n: n^2 = m^2 – e^2 = 126,also n = 3 * sqrt(14). Gleichung dieser Ellipse: n^2 x^2 + m^2 y^2 = m^2 n^2, also: 126 x^2 + 182,25 y^2 = 22963,5 oder 56 x^2 + 81 y^2 = 10206. Wir kennen die Höhe ha des Dreiecks: ha = 2F / a = 168/15 = 11,2. Wir schneiden daher die Ellipse mit der zur x-Achse parallelen Geraden y = ha = 11,2 Ein Schnittpunkt A genügt vollauf! Auflösung nach x^2: x^2 = (10 206 - 81 y^2) / 56 = (10 206 – 81 * 11,2^2) / 56 = 0,81, somit (Wahl x<0) x = - 0,9 (exakt) F sei der Fußpunkt der Höhe ha auf der Seite BC, dann gilt F(- 0,9/0). Daraus BF = f = 7,5 - 0,9 = 6,6 und c^2 = f^2 + ha^2 = 169, also c = 13, b = 14 °°°°°°°°°°°°°°°°°° Setzen wir p = b + c = 27 q = b * c = 182, so sind nach Vieta b und c Lösungen der quadratischen Gleichung in z: z^2 – 27 z + 182 = 0. b) die Berechnungen für den allgemeinen Fall lassen wir weg. Mit freundlichen Grüßen H.R.Mose,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 221 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 21:04: |
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Hi megamath, Auch mir war diese Lösungsmöglichkeit unbekannt.Also wieder was dazugelernt! Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2544 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 22:13: |
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Hi Olaf, Heureka, Deine Methode führt zum Ziel, Du darfst nur den Überblick nicht verlieren!* Wir gehen von der Heronschen Formel aus: 16*F2=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) und setzen ein, was darin bekannt ist. Die schöne Unbekannte (oh) darin ist bloß Y = b – c Die Formel gibt: 16 * 84^2 = 42 (15 + Y ) 15 – Y)(-15 + 27), 16 * 84^2 = 42 (225 - Y^2) *12, vereinfacht 225 - Y^2 = 224; Y zeigt sich in der ganzen Größe: Y = 1, also b - c = 1, mit b + c = 27 liegt dann ALLES offen da, hihi Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 222 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 22:37: |
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Hi megamath Da ich mich sehr kurz gefaßt habe,hier auch nochmal meine Lösung (wenn auch nicht elegant) im Detail: Formel von Heron: F2=s(s-a)(s-b)(s-c) mit s=(a+b+c)/2 F2=(a+b+c)/2*[(a+b+c)/2-a][(a+b+c)/2-b][(a+b+c)/2-c] F2=(a+b+c)/2*[(a+b+c)/2-2a/a][(a+b+c)/2-2b/2][(a+b+c )/2-2c/c] F2=(a+b+c)/2*(-a+b+c)/2*(a-b+c)/2*(a+b-c)/2 F2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/16 16F2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) U=a+b+c;a=15;U=42 => b=27-c 16F2=(a+(27-c)+c)(-a+(27-c)+c)(a-(27-c)+c)(a+(27-c)-c) 16F2=(a+27)(27-a)(a-27+2c)(a+27-2c) mit F=84 und a=15: 16*842=(15+27)(27-15)(15-27+2c)(15+27-2c) 112896=42*12*(-12+2c)(42-2c) 112896=42*12*(-4)(c-6)(c-21) -56=(c-6)(c-21) -56=c^2-27c+126 c2-27c+182=0 => p=-27;q=182 => c1=13;c2=14 Gruß,Olaf
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