| Autor |
Beitrag |
    
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 179
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 17:36: | 
|
hi,
wie kann man 1/4 ln(4x) ableiten bzw. integrieren?
damit komme ich nicht so ganz klar!
detlef |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1321
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 19:08: |
|
BENUTZE
mathdraw
sieh
Dir dort kurz die Hilfe an: Rechenfuktionen -> Ableiten, Integrieren
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 837
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 19:09: |
|
Hi,
allgemein gilt:
f(x) = c * ln( e * x )
f'(x) = c / x
F(x) = (c / e) * (e * x) * ln(e * x) - (e * x)
Beweise:
c ist const.
ln( e * x ) = ln( e ) + ln( x ) Potenzgesetze!
ln( e ) ist const! fällt also beim Ableiten weg!
ò c * ln( e * x ) dx
Substitution! ex = u ==> dx = 1/e du
ò c * ln( e * x ) dx
=
(c/e) * [(e * x) * ln(e * x) - ( e * x )]
mfg
|
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 181
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 10:36: |
|
hi,
ich wollte jetzt darauf hinaus, ob es eine veränderung gibt, wenn man beim differenzieren von 1/(4x)dx nun schreibt 1/4 ln(4x) oder
1/4 ln(x)!
wie leitet man das genau ab? welche regeln?
bei der Substitution:
Int c * ln( e * x ) dx
u = ex => du/dx = e => 1/e du = dx!!!
c*ln(e*x) dx = c* ln(u)(1/e du)=..
ist das so richtig???
detlef |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 637
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 13:24: |
|
Hi,
du meinst oben wohl integrieren statt differenzieren!
1/(4x) lässt sich tatsächlich auf zwei Arten behandeln, wobei natürlich das gleiche Ergebnis entstehen muss:
1.
Die (4x) bleiben zusammen, dann muss die Substitutionsregel verwendet werden:
u = 4x -> du = 4*dx
Int[1/(4x)]dx = Int[1/u]*du/4 = ln(u)/4 + C =
= ln(4x)/4 + C = (ln(x) + ln(4))/4 + C1 = (ln(x))/4 + (ln4)/4 + C1 =
= ln(x)/4 + C
(ln4)/4 + C1 wurde zu einer neuen Konstanten C zusammengefasst.
2.
Int[1/(4x)]dx = (1/4)*Int(1/x)dx = ln(x)/4 + C
Man sieht, dass der zweite Weg einfacher ist. Ganz analog ist es beim Differenzieren, im ersten Fall müsste die Kettenregel angewandt werden.
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 19., August. 2003 von mythos2002 editiert) |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 182
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 14:20: |
|
hi,
ok, danke!
wie funktioniert jetzt die kettenregel bei
1/4 ln(x) und 1/4 ln(4x)?
kettenregel ist doch mit innerer und äußerer Abl.?
und was habe ich bei der integration falsch gemacht?
Int c * ln( e * x ) dx
u = ex => du/dx = e => 1/e du = dx!!!
c*ln(e*x) dx = c* ln(u)(1/e du)=..
detlef
|
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 638
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 16:18: |
|
Zunächst mal muss man aufpassen, ln(4x) ist nicht etwa gleich 4*ln(x), denn es gilt nach den Logarithmengesetzen
ln(4x) = ln(x) + ln(4)
Differenzieren von (1/4)*ln(x)):
1/4 ist konstanter Faktor,
[(1/4)*ln(x))]' = (1/4)*(1/x) = 1/(4x)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Differenzieren von (1/4)*ln(4x)):
1/4 bleibt konstanter Faktor,
[(1/4)*ln(4x))]' = (1/4)*(1/(4x))*4
-> 1/(4x) ist die äußere und die letzte 4 die innere Ableitung
somit ist das Ergebnis 1/(4x)
Letzteres kann man kontrollieren, indem man statt ln(4x) = ln(x) + ln(4) setzt:
[(1/4)*ln(4x))]' = (1/4)*[ln(x) + ln(4)]' = 1/(4x)
ln(x) ergibt zur Ableitung ja (1/x) und ln(4) als Konstante -> 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zur zweiten Frage dann gleich .....
Gr
mYthos
|
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 639
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 16:46: |
|
Beim Integral hast du eigentlich nichts falsch gemacht, sondern (wohl weil du nicht weiter kommst) nicht fertig gerechnet!
Es bleibt dir also nach Ausklammern von c/e als konst. Faktor noch die Aufgabe, das Integral
Int [ln(u)]du zu berechnen. Das geschieht mittels partieller Integration
f' = 1, g = ln(u) ->
f = u, g' = 1/u
..
Int [ln(u)]du = u*ln(u) - u
Im Formelheft findest du ebenfalls:
Int[ln(x)] = x*(ln(x) - 1) oder x*ln(x) - x
Somit ist
Int[c*ln(ex)]dx = (c/e)*Int(ln(u)]du =
= (c/e)*u*(ln(u) - 1) + C =
[nach Einsetzen von ex für u ->]
= cx*(1 + ln(x) - 1) + C = c*x*ln(x) + C
Wohl einfacher ist es - man erspart sich die Substitution - wenn die Angabe etwas umgeformt wird, denn ln(e*x) = 1 + ln(x) [ln(e) = 1]:
Int[c*ln(ex)]dx = c*Int[1 + ln(x)]dx =
= c*(x + x*ln(x) - x) + C =
= c*x*ln(x) + C
Gr
mYthos
|
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 183
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. August, 2003 - 09:47: |
|
ok, vielen dank!
detlef |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 186
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. August, 2003 - 13:46: |
|
doch noch ne frage:
ich würde auf das richtige ergebnis kommen, wenn die partielle Integration so gehen würde:
f*g - int(f*f' ) dx
aber es sieht ja so aus:
f*g - int (f*g') dx
(c/e)*Int(ln(u)]du = (c/e)*u*(ln(u) - 1) + C???
detlef
|
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 641
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. August, 2003 - 16:09: |
|
Es ist und bleibt nun mal so:
int(f'*g) = f*g - int(f*g')
Dies ist nämlich die Umkehrung der Produktregel beim Differenzieren!
Bei Anwendung dieser Regel kommt ohnehin
...
(c/e)*Int(ln(u)]du = (c/e)*u*(ln(u) - 1) + C
...
was gefällt dir daran nicht?
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 20., August. 2003 von mythos2002 editiert) |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 187
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 09:53: |
|
axo, alles klar, ich hatte einen denkfehler, hat sich alles geklärt!
detlef |
