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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2334 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 09:15: |
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Hi allerseits, In der Dreiecksaufgabe 29 wird wieder vorausgesetzt. alpha + beta + gamma = 180°. Es ist zu zeigen, dass die Relation gilt: cos(alpha) + cos(beta) - cos(gamma) = 4 cos(½ alpha) cos(½ beta) sin(½ gamma) - 1 MfG H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2343 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 13:31: |
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Hi allerseits, Die Dreiecksaufgabe 29 soll reaktiviert werden! Der Aufgabentext lautet: Es wird wieder alpha + beta + gamma = 180° vorausgesetzt. Es ist zu zeigen, dass die Relation gilt: cos(alpha) + cos(beta) - cos(gamma) = 4 cos(½ alpha) cos(½ beta) sin(½ gamma) - 1 Hinweis: Vielleicht helfen die Beziehungen cos (gamma) = - cos (alpha + beta) sin (½ gamma) = cos (½ alpha + ½ beta) Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2365 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. August, 2003 - 20:13: |
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Hi allerseits, Pro memoria: Die Dreiecksaufgabe ist immer noch nicht gelöst! Ich erwarte nicht, dass jemand sich der Mühe goniometrischer Umformungen unterzieht; das ist zur Genüge geschehen. Ich schlage vor, dass man hier das wichtige Prinzip anwendet, eine neue Aufgabe auf eine bereits gelöste zurückzuführen; in concreto: führe die Dreiecksaufgabe 29 durch eine geeignete Transformation ohne weitere Umschweife auf die Dreiecksaufgabe 28 zurück. Wie lautet diese Transformation ? Prosit und viel Erfolg ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2379 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 10:11: |
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Hi allerseits, Bevor neue Dreiecksaufgaben erscheinen (vorbereitet sind die Nummern 37 – 42), sollten die alten gelöst sein. Lösungen fehlen noch zu den Nummern 29,30,34,35,36. Ich werde die Lösungen nun sukzessive ins Board stellen; dies geschieht auch auf mehrfachen Wunsch von Teilnehmern. Lösung der Dreiecksaufgabe 29: Bezeichnungen alpha wird durch a, beta durch b, gamma durch c ersetzt. Vorbereitungen Benütze folgende Beziehungen: cos c = - cos (a + b)……………………………….(1) sin (½ c) = cos [½ (a + b)]…………………………(2) Die beiden Beziehungen folgen aus der Bedingung a + b + c = 180° Wegen (1) und (2) lautet die zu beweisende Relation: cos a + cos b + cos (a + b) = 4 cos(½ a) cos(½ b) cos [½(a+b)] - 1………… …(3) Wir wiederholen das mit der vorhergehenden Aufgabe erfolgreich praktizierte Lösungsverfahren hier nicht, das wäre wohl etwas phantasielos. Wir versuchen vielmehr, die neue Aufgabe auf die vorhergehende zurückzuführen. Dies gelingt tatsächlich mit Hilfe einer geeigneten Substitution. Man beachte: die Version der Relation, in der nur die Winkel a und b auftreten, nicht aber c, ist gültig für beliebige Winkel, wie die Herleitung bei der Lösung von 28 zeigt; es sind uns bezüglich der Winkel also keine Einschränkungen auferlegt. Wir gehen aus von der bereits bewiesenen Relation aus Nr.28: cos a + cos b – cos (a + b) = 4 sin (½ a) sin (½ b) cos [½(a+b)] + 1……… (4) Wir substituieren so: ersetze a durch a +180°, b durch b + 180°; dabei passieren gemäß bekannter Formeln der Goniometrie folgende Umsetzungen: cos a geht in – cos a über cos b geht in – cos b über cos (a+b) geht in cos (a+b) über sin (½ a) geht in cos (½ a) über sin (½ b) geht in cos (½ b) über cos [½ (a+b)] geht in - cos [½ (a+b)] über Das Alles wenden wir auf (4) an; es entsteht: - cos a - cos b – cos (a + b) = 4 cos (½ a) sin (½ b){- cos [½(a+b)]} + + Eine Multiplikation beider Seiten mit -1 ergibt das sehnlich erwartete Resultat : cos a + cos b + cos (a + b) = 4 cos(½ a) cos(½ b) cos [½(a+b)] - 1, was zu zeigen war. MfG H.R.Moser, megamath
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