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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2255 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 22:05: |
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Hi allerseits, es folgt die Vierecksaufgabe 5, VA 5 über Berechnungen beim Sehnenviereck,1.Teil. Die Bezeichnungen sind von den vorhergehenden Aufgaben übernommen. Zusätzlich hat der halbe Umfang s = ½ (a + b + c + d) seinen Auftritt. Man beweise die folgenden für das konvexe Viereck geltenden Formeln: 1. cos (alpha) = [(a^2 + d^2) – (b^2+c^2)] / [2 (ad + bc)] 2. sin(alpha) = 2 sqrt [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] / (ad + bc) 3. cos(½ alpha) = sqrt [ (s-b)(s-c) / (ad + bc) ] 4. sin(½ alpha) = sqrt [ (s-a)(s-d) / (ad + bc) ] MfG H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 792 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 07:43: |
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Hi Megamath, zu 1) Anwendung des Cosinussatzes und gleichsetzen: a²+d²-2ad*cosa=b²+c²-2bc*cosc a²+d²-2ad*cosa=b²+c²+2bc*cosa cosa=((a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc)) w.z.b.w. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Falls es sonst irgendwelche Fragen gibt (auch bezüglich unseres Streites) einfach sagen. Ich antworte gerne darauf! mfg Niels
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Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 793 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 08:38: |
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Hi Megamath, zu 3) Ansatz: cos(a/2)=sqrt((1+cosa)/2) mit cosa=((a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc)) 1+cosa=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc)) (1+cosa)/2=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc))/2 (1+cosa)/2=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(4*(ad+bc)) Nun gilt: s=(a+b+c+d)/2 (s-b)=(a-b+c+d)/2 (s-c)=(a+b-c+d)/2 ============================ (s-b)*(s-c)=[(a-b+c+d)*(a+b-c+d)]/4 4*(s-b)*(s-c)=((a-b)+(c+d))*((a+b)-(c-d)) 4*(s-b)*(s-c)=(a-b)*(a+b)-(a-b)*(c-d)+(a+b)*(c+d)- (c+d)*(c-d) 4*(s-b)*(s-c)=(a²-b²)-(c²-d²)+(-ac+ad+bc-bd+ac+ad+ bc+bd) 4*(s-b)*(s-c)=(a²+d²)-(b²+c²)+2*(ad+bc) 4*(s-b)*(s-c)=2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²) => (1+cosa)/2=((2*(ad+bc)+(a²+d²)-(b²+c²))/(4*(ad+bc)) (1+cosa)/2=(4*(s-b)*(s-c))/(4*(ad+bc)) (1+cosa)/2=((s-b)*(s-c))/(ad+bc) cos(a/2)=sqrt[(1+cosa)/2]=sgrt[((s-b)*(s-c))/(ad+bc)] w.z.b.w. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° mfg Niels |
Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 794 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 09:09: |
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Hi Megamath, zu 4) Im Prinzip die gleiche Vorgehensweise wie bei Teilaufgabe 3! Ansatz: sin(a/2)=sqrt[(1-cosa)/2] mit cosa=((a²+d²)-(b²+c²))/(2*(ad+bc)) 1-cosa=((2*(ad+bc)-(a²+d²)+(b²+c²))/(2*(ad+bc)) (1-cosa)/2=((2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²))/(2*(ad+bc))/2 (1-cosa)/2=((2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²))/(4*(ad+bc)) Nun gilt: s=(a+b+c+d)/2 (s-a)=(-a+b+c+d)/2 (s-d)=(a+b+c-d)/2 ============================ (s-a)*(s-d)=[(-a+b+c+d)*(a+b+c-d)]/4 4*(s-a)*(s-d)=(-(a-b)+(c+d))*((a+b)+(c-d)) 4*(s-a)*(s-d)=-(a-b)*(a+b)-(a-b)*(c-d)+(a+b)*(c+d) +(c+d)*(c-d) 4*(s-a)*(s-d)=(b²+a²)+(c²-d²)+(-ac+ad+bc-bd+ac+ad+ bc+bd) 4*(s-a)*(s-d)=(b²+c²)-(a²+d²)+2*(ad+bc) 4*(s-a)*(s-d)=2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²) => (1-cosa)/2=((2*(ad+bc)+(b²+c²)-(a²+d²))/(4*(ad+bc)) (1-cosa)/2=(4*(s-a)*(s-d))/(4*(ad+bc)) (1-cosa)/2=((s-a)*(s-d))/(ad+bc) sin(a/2)=sqrt[(1-cosa)/2]=sgrt[((s-a)*(s-d))/(ad+bc)] w.z.b.w. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° mfg Niels
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Niels (niels2)
Senior Mitglied Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 795 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 09:24: |
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Hallo Megamath, Der Spaß geht weiter.... zu 2) wenn man Teilaufgabe 3 und 4 gelöst hat ist Teilaufgabe 2 nur noch eine Formsache: Ansatz: sina=2*sin(a/2)*cos(a/2) sina=2*sin(a/2)*cos(a/2) sina=2*sgrt[((s-a)*(s-d))/(ad+bc)]*sgrt[((s-b)*(s-c))/ (ad+bc)] sina=2*sqrt[(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)]/(ad+bc) w.z.b.w. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Das wäre dann alles! Aufgabe VA 5 ist damit komplett gelöst und Megamth damit hoffentlich zufrieden! Ich bin es jedenfalls! mfg Niels
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