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Tvista (tvista)
Neues Mitglied
Benutzername: tvista
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 08:19: | 
|
Hallo ihr,
so ich hoffe mal der Beitrag wird hier richtig sein?
Wir müssen nämlich einen Aufgabenzettel lösen (Baden-Württemberger Abiturprünfung 1998) und ich komme dort einfach nicht voran. Und mein Matheleherer kann uns diese Aufgaben absolut nicht erklären, man ist anschließend immer so schlau wie vorher...
Nun ja hier erst mal die Aufgaben: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3|-3|0), B(2|0|8) und C(2|-2|4) gegeben und für jedes t element R die Gerade:
g(t): x= (-3|3|0)+r(1|-1|t) ; r element R
Die Ebene enthält die Punkte A,B,C.
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E und die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen.
Diese Punkte bilden ein Dreieck.
Wie rechne ich eine Koordinatengleichung aus?
(Zeichnen Sie dieses Dreick in ein Koordinatensystem ein<-- das bekomme ich hin  ) (Längeneinheit 1 cm; Verkürzungsvektor in x1-Richtung 1/2 Wuzel(2) <-- was ist damit gemeint?)
Unter welchem Winkel schneidet g(0) die x1-Achse?
Für welchen Wert von t verläufdt die Gerade g(t) parallel zu E?
Für welchen Wert von t schneidet g(t) die Ebene E senkrecht?
Meine Frage: Wie mache ich das? Gibt es da vielleicht igrendwelche Formeln für das Berechnen dieser Wert und Winkel?
b) Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenurspunges O von E.
O wird an E gespiegelt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes O.
Für t*=2 Wurzel (2) gibt es auf g(t*) Punkte, die vom Koordinatenursprung O den gleichen Abstand haben wie O von E.
Berechnen Sie diese Punkte.
Hier bräuchte ich ebenfalls einen Lösungsansatz.
c) Die Ebene E und die Koordinatenebenen legen eine Pyramide fest.
Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
Für welche a element R liegt der Punkt P(1|-4|a) im Innern der Pyramide?
Wie berechne ich da a?
d) Alle Geraden g(t) sind in einer Ebene F enthalten.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für F.
Zeigen Sie, dass F Symmetrieebende der Pyramitde aus Teilaufgabe c ist.
Hier weiß ich ebenfalls nicht, wie ich das berechnen soll, da mir kein Lösungsansatz einfällt.
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig helfen?
Vielen lieben Dank im Voraus.
Lg
Tvista |
Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 13:15: |
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Hallo Tvista,
ich habe keine Musterlösung, deshalb kann meine Lösung falsch sein.
zur a)
Berechnen der Koordinatengleichung:
Ich weiß nicht, ob ihr das Kreuzprodukt schon hattet, wenn nicht, müsst ihr es komplizierter machen.
VektorAB = (-1 3 8)
VektorBC = (0 -2 -4)
.i .j .k
-1 .3 .8
.0 -2 -4
= -12i + 0j + 2k + 16i - 4j - 0k
= 4i -4j + 2k
= 2(2i - 2j + k)
Einsetzen von B:
2*2 + 8 = 12,
also ist die Koordinatengleichung 2x - 2y + z = 12.
Unter welchem Winkel schneidet g(0) die x1-Achse? :
Winkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren mit der Formel
cos phi = (vektorx * vektor y) / (|vektorx| * |vektory|)
cos phi = (1 -1 0)*(1 0 0) / sqrt(2) = 1/sqrt(2)
phi = 45° (pi/4)
Für welchen Wert von t verläufdt die Gerade g(t) parallel zu E? :
parallel verläuft sie, wenn die beiden Richtungsvektoren der Ebene und die der Gerade linear abhängig sind.
a*(-1 3 8) + b*(0 -2 -4) = (1 -1 t)
man stellt drei Gleichungen auf:
..I -a = 1
.II 3a - 2b = -1
III 8a - 4b = t
aus I folgt: a = -1
.II -2b = -1 - 3a = -1 + 3 = 2
daraus folgt: b = -1
-8 + 4 = t ==> t = -4
Also ist für t = -4 die gerade parallel zu E
Für welchen Wert von t schneidet g(t) die Ebene E senkrecht? :
Der Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade wird durch folgende Formel berechnet:
sin alpha = (richtungsvektorgerade * normalenvektorebene) / (|richtungsvektorgerade| * |normalenvektorebene|)
Das soll null sein.
=> richtungsvektorgerade * normalenvektorebene muss null sein.
(1 -1 t) * (2 2 1) = 2*1 + 2*(-1) + t = t = 0,
==> t ist null, also schneidet g für t = 0 die Ebene senkrecht.
Fragen zu einem Schritt? Es kann gut sein, dass ich etwas verwendet habe, was ihr noch nicht im Unterricht hatet. Dann frag einfach!
Tamara
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Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 13:42: |
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b)
Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenurspunges O von E.
Für den Abstand eines Punktes von E nimmt man die Hessesche Normalenform:
"Der Punkt P(xp|yp|zp) hat von der Ebene E: Ax + By + Cz + D = 0 den orierentierten Abstand
e = Axp + Byp + Czp + D"
e = (2 * 0 + 2 * 0 + 1 * 0 - 12)*(1/3) = -12/3 = -4,
der Abstand ist also 4.
Die 1/3 kommt daher, dass der Normalenvektor die Länge 1 haben muss: 1/3 * |(2 2 1)| = 1.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes O':
(0 0 0) + 8 * 1/3 * (2 2 1)=(16/3 16/3 8/3)
Idee dahinter: Mann musste von der Ebene -4 mal den Normalenvektor bis zum Ursprung gehen.
Geht man ihn also vom Ursprung aus 4 mal, kommt man auf die Ebene. Geht man vier weiter, kommt man auf den Spiegelpunkt.
Für t*=2 Wurzel (2) gibt es auf g(t*) Punkte, die vom Koordinatenursprung O den gleichen Abstand haben wie O von E.
Berechnen Sie diese Punkte:
Oh sorry ich komm' auf einen Widerspruch. Dann ist eine Ebene falsch.
Ich muss also nochmal von vorne anfangen!
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Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 141
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 13:49: |
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Verbesserte a)
Berechnen der Koordinatengleichung:
Ich weiß nicht, ob ihr das Kreuzprodukt schon hattet, wenn nicht, müsst ihr es komplizierter machen.
VektorAB = (-1 3 8)
VektorBC = (0 -2 -4)
.i .j .k
-1 .3 .8
.0 -2 -4
= -12i + 0j + 2k + 16i - 4j - 0k
= 4i -4j + 2k
= 2(2i - 2j + k)
Einsetzen von A:
12 + 12 = 24
also ist die Koordinatengleichung 2x - 2y + z = 24.
Unter welchem Winkel schneidet g(0) die x1-Achse? :
Winkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren mit der Formel
cos phi = (vektorx * vektor y) / (|vektorx| * |vektory|)
cos phi = (1 -1 0)*(1 0 0) / sqrt(2) = 1/sqrt(2)
phi = 45° (pi/4)
Für welchen Wert von t verläufdt die Gerade g(t) parallel zu E? :
parallel verläuft sie, wenn die beiden Richtungsvektoren der Ebene und die der Gerade linear abhängig sind.
a*(-1 3 8) + b*(0 -2 -4) = (1 -1 t)
man stellt drei Gleichungen auf:
..I -a = 1
.II 3a - 2b = -1
III 8a - 4b = t
aus I folgt: a = -1
.II -2b = -1 - 3a = -1 + 3 = 2
daraus folgt: b = -1
-8 + 4 = t ==> t = -4
Also ist für t = -4 die gerade parallel zu E
Für welchen Wert von t schneidet g(t) die Ebene E senkrecht? :
Der Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade wird durch folgende Formel berechnet:
sin alpha = (richtungsvektorgerade * normalenvektorebene) / (|richtungsvektorgerade| * |normalenvektorebene|)
Das soll null sein.
=> richtungsvektorgerade * normalenvektorebene muss null sein.
(1 -1 t) * (2 -2 1) = 2*1 + (-2)*(-1) + t = 8 + t = 0,
==> t ist -8, also schneidet g für t = -8 die Ebene senkrecht.
Tamara
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Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 14:00: |
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Verbesserte a)
Berechnen der Koordinatengleichung:
Ich weiß nicht, ob ihr das Kreuzprodukt schon hattet, wenn nicht, müsst ihr es komplizierter machen.
VektorAB = (-1 3 8)
VektorBC = (0 -2 -4)
.i .j .k
-1 .3 .8
.0 -2 -4
= -12i + 0j + 2k + 16i - 4j - 0k
= 4i -4j + 2k
= 2(2i - 2j + k)
Einsetzen von A:
12 + 12 = 24
also ist die Koordinatengleichung 2x - 2y + z = 24.
Unter welchem Winkel schneidet g(0) die x1-Achse? :
Winkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren mit der Formel
cos phi = (vektorx * vektor y) / (|vektorx| * |vektory|)
cos phi = (1 -1 0)*(1 0 0) / sqrt(2) = 1/sqrt(2)
phi = 45° (pi/4)
Für welchen Wert von t verläufdt die Gerade g(t) parallel zu E? :
parallel verläuft sie, wenn die beiden Richtungsvektoren der Ebene und die der Gerade linear abhängig sind.
a*(-1 3 8) + b*(0 -2 -4) = (1 -1 t)
man stellt drei Gleichungen auf:
..I -a = 1
.II 3a - 2b = -1
III 8a - 4b = t
aus I folgt: a = -1
.II -2b = -1 - 3a = -1 + 3 = 2
daraus folgt: b = -1
-8 + 4 = t ==> t = -4
Also ist für t = -4 die gerade parallel zu E
Für welchen Wert von t schneidet g(t) die Ebene E senkrecht? :
Der Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade wird durch folgende Formel berechnet:
sin alpha = (richtungsvektorgerade * normalenvektorebene) / (|richtungsvektorgerade| * |normalenvektorebene|)
Das soll null sein.
=> richtungsvektorgerade * normalenvektorebene muss null sein.
(1 -1 t) * (2 -2 1) = 2*1 + (-2)*(-1) + t = 8 + t = 0,
==> t ist -8, also schneidet g für t = -8 die Ebene senkrecht.
b)
Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenurspunges O von E.
Für den Abstand eines Punktes von E nimmt man die Hessesche Normalenform:
"Der Punkt P(xp|yp|zp) hat von der Ebene E: Ax + By + Cz + D = 0 den orierentierten Abstand
e = Axp + Byp + Czp + D"
e = (2 * 0 - 2 * 0 + 1 * 0 - 24)*(1/3) = -24/3 = -8,
der Abstand ist also 8.
Die 1/3 kommt daher, dass der Normalenvektor die Länge 1 haben muss: 1/3 * |(2 2 1)| = 1.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes O':
(0 0 0) + 16 * 1/3 * (2 -2 1)=(32/3 -32/3 16/3)
Idee dahinter: Mann musste von der Ebene -8 mal den Normalenvektor bis zum Ursprung gehen.
Geht man ihn also vom Ursprung aus 8 mal, kommt man auf die Ebene. Geht man acht weiter, kommt man auf den Spiegelpunkt.
Für t*=2 Wurzel (2) gibt es auf g(t*) Punkte, die vom Koordinatenursprung O den gleichen Abstand haben wie O von E.
Berechnen Sie diese Punkte:
G(-3 + r|3 - r| 2*(sqrt(2) )
e = 4 *(-3 + r) + 2*(sqrt(2)) - 24 = 8
4 * (-3 + r) = 8 + 24 - 2 * sqrt(2)
4r = 32 - 2*sqrt(2) + 12
r = 1/2*sqrt(2) + 12
G1( 9 + 1/2*sqrt(2) | -9 - 1/2 *sqrt(2) | 2*sqrt(2))
e = 4 * (-3 + r) + 2*sqrt(2) - 24 = -8
4 *(-3 + r) + 2*sqrt(2) = -8 + 24
-12 + 4r = 16 - 2 * sqrt(2)
4r = 28 - 2 * sqrt(2)
r = 7 - 1/2 * sqrt(2)
G2 ( 4 - 1/2 * sqrt(2) | -4 + 1/2 *sqrt(2) | 2*sqrt(2))
betrachte die Lösung als Ansatz, und rechne bitte auf alle Fälle nach!!!
tamara
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Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 14:06: |
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d)
Ebene F:
g: x=(-3 3 0) + r(1 -1 0) + t(0 0 1)
Verfahren wie in a)
i .j k
1 -1 0
0 .0 1
= -i +0j +0k - 0i - j - 0k = -i -j
F: -x -y = 0
Weiter kann ich in der d) nicht helfen, weil ich nicht wei0, was eine Symmetrieebene ist. |
Tvista (tvista)
Neues Mitglied
Benutzername: tvista
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juni, 2003 - 17:38: |
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Hallo Tamara,
erst einmal recht herzlichen Dank für Deine Mühe.
Das Kreuzprodukt hatten wir noch nicht, jedoch habe ich im Internet ein wenig gesucht und weiß nun wie es funktioniert 
Wenn die Koordinatengleichung= 2x - 2y + z = 24 ist, dann müßte ich für die Berechnung der Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen z.B. mit der Z-Achse: x=0 , y=0 in die Koordinatengleichung einsetzen und diese Gleichung nach z auflösen, oder?
zu b)
"e = (2*0+2*0+1*0-12)*(1/3)=-12/3=-4,
der Abstand ist also 4.
Die 1/3 kommt daher, dass der Normalenvektor die Länge 1 haben muss: 1/3*|(2 2 1)|=1."
Der Normalvektor ist doch |2 -2 1|, wenn ich mich nicht täusche, oder?
Nun warte ich mal auf Deine Antwort, um anschließend weiterzumachen
Bis dann und schon mal vielen Dank im voraus.
Lg
Tvista
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