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Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 08:33: | 
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Also ich muss den ggT von 72 und 30 zeichnerisch zeigen ! Also man malt ein Rechteck, wobei a = 7,2 cm lang ist und b = 3cm !
Den ggT habe ich durch den Euklidischen Alogorithmus bestimmt :
72 = 2*30 + 12
30 = 2*12 + 6
12 = 2*6 Also ist der ggT 6 !
Aber wie muss ich das zeichnen ? Ich krieg das einfach nicht hin ! Wäre also dankbar für Erklärungen !
Und noch eine Frage : Wenn a/b und a/c, dann a/b+c ! Beweisen sie das algebraisch ! Was genau ist mit algebraisch gemeint ? Soll ich konkrete Zahlen einsetzen ? Oder wie ?
Danke schon mal
Sabrina |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:44: |
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Hallo Sabrina,
zur Zusatzfrage. Ich nehme an, man muß es so lesen: wenn a ein Teiler von b und a ein Teiler von c ist, dann ist a auch ein Teiler von b+c. Richtig?
Wenn das gemeint ist, dann wäre die korrekte Schreibweise:
a|b und a|c => a|b+c.
Beweis (algebraisch). Wenn a|b, dann gibt es ein xeN mit b=ax. Analog gibt es ein yeN mit c=ay.
Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man:
b+c = ax + ay = a(x+y). Das ist genau das gesucht, es gibt also eine natürliche Zahl (nämlich x+y), die mit a multipliziert b+c ergibt.
Und die zeichnerische Lösung für Deine erste Aufgabe. Ja, zeichne in Millimeterpapier ein Koordinatenkreuz. Zeichne darin ein Rechteck mit den Seitenlängen 72 und 30, so daß die linke untere Ecke im Nullpunkt liegt und so daß die größere Zahl (die 72 also) in y-Richtung aufgetragen wird.
Trage nun die Diagonale von links oben nach rechts unten ein. Suche den größten ganzzahligen y-Wert, der genau auf der Diagonalen liegt. Das ist das ggT.
Bei ggt(2,6) und so klappt das ganz gut. Bei 72 und 30 macht einem aber schon die Ungenauigkeit in der Zeichnung zu schaffen. So ohne Nachrechnen kann man sich nicht wirklich sicher sein, ob das ggT(72,30) nun 6 oder 7 ist.
Aber immerhin eine ganz nette Bemühung zur Anschaulichkeit.
Gruß
Matroid |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:59: |
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Oh, da hab ich mich vertan, der Beweis soll lauten : Wenn a/b und a/c, dann a/b*x * c*y ! Wie geht das denn dann ? ( / soll wirklich teilt heißen, ich weiß nicht, wie der senkrechte Strich geht !)
Danke schon mal, das mit der Zeichnung probier ich jetzt !
Aber wie begründe ich, dass der größte Wert auf der Diagonalen der ggT ist ? |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:05: |
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Hm, nee, versteh ich nicht mit der Zeichnung ! Wie muss ich das genau ablesen ? Das Zeichnen ist klar, aber beim Ablesen hakt es ! Wie finde ich denn den größten ganzzahligen y-Wert auf der Diagonalen ???? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:08: |
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Da muß ich dann aber noch mal nachfragen.
Wenn die Aufgabe lautet:
Quote:Wenn a/b und a/c, dann a/b*x * c*y
dann fehlt mir erstmal das Prädikat bei den Voraussetzungen: "Wemm a/b was?"
Etwa "wenn a/b größer fünf" oder "wenn a/b eine Quadratzahl ist".
Und wenn erforderlich schreib bitte mit Klammern.
Denn a/b*x * c*y kann ja
a/(b*x) * c*y
oder auch
a/(b*x * c*y ).
Ich denke mir, daß es heißen muß:
Wenn a/b und b/c natürliche Zahlen sind, dann ist auch a/(b*c) eine natürliche Zahl.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:11: |
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Ja, mit der Zeichnung. Das meinte ich doch auch. Mit 72 und 30 sieht man eigentlich nichts mehr.
Mach mal das ggT(2,6) mit 1 Einheit je Kästchen.
Da sieht man es. Die Diagonale geht genau über den Koordinatenpunkt bei y=3.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:11: |
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Verschrieben: y=2 natürlich |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:19: |
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Nee, nee, man muss das so lesen : Wenn a b teilt und a c teilt, dann teilt a auch b mal x und c mal y ! Dann müsste es aber gehen, oder ? Nur ich komm nicht auf die Lösung !
Wie wäre denn die Begründung für den Graphen ? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:29: |
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Ok, wenn a b teilt, dann schreibt Du richtigerweise a|b (den Strich mache ich mit "STRG <").
Also wenn a|b, dann gibt es ein neN miz b=n*a und wenn a|c, dann gibt es auch ein meN mit c=m*a.
Zu zeigen ist, das a | (b*x+c*y) für alle natürlichen Zahlen x und y.
Hinweis: Dein 'und' verstehe ich als 'plus'. Das 'und' ist ein logischer Operator.
Da also b=n*a und c=m*a, dann ist auch x*b=x*n*a und y*c=y*m*a. Ich addiere nun die beiden Gleichungen und erhalte:
x*b + y*c = x*n*a + y*m*a = (x*n + y*m)*a
Also ist a ein Teiler von x*b + y*c. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:31: |
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Zur zeichnerischen Lösung:
Für die Teilbarkeit werden ja natürliche Zahlen gesucht. Es gibt viele Teiler in der Menge der rationalen oder der reelen Zahlen. Im Grunde sind alle Punkte auf der Diagonalen Teiler, aber nur die die Punkte, die einen Gitterpunkt der Zahlenebene treffen stehen für ganzzahlige Teiler. |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:33: |
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Duu, folgendes Problem : Wir sollen 72 und 30 in cm eintragen, also 7,2 cm und 3 cm ! Dann müsste das ggT ja eigentlich bei 0,6 liegen, oder ? Aber das ist ja keine ganzzahlige Zahl ! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:37: |
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Ach, ich ziehe meine Antwort zur zeichnerischen Lösung erstmal wieder zurueck. Hab's gerade mit 8 und 12 probiert und sehe, daß es doch nicht so geht, wie ich gesagt habe. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:38: |
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Aber nein, wenn Du zuerst die Skalen im Verhältnis 1:10 aufträgst, dann steht die 0,6 für eine ganze Zahl, nämlich die 6. Du hast doch auch 7.2 für 72 geschrieben. |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:42: |
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Stimmt mit der Skalierung, Du hast recht ! Hm, das mit der zeichnerischen Lösung scheint doch komplizierter zu sein, danke fürs Versuchen ! Vielleicht schaffst Du es ja noch ??? Ich muss den PC jetzt ausmachen, aber ich schau morgen früh noch mal rein ! Danke schon mal, auch für das mit dem Beweis, hab ich sogar verstanden ! |
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