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Tommy
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 18:37: | 
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Wer kann mir helfen?
1. Berechnen Sie die Lösung der Gleichung
cos x = x auf 2 Dezimalen.
2. Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion
f: [0,1]->[0,1] einen Fixpunkt hat.
3. Welche Art von Unstetigkeit hat die Funktion
f(x)= e^ -1/x^2 für xeR \ {0} an der Stelle 0? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 20:50: |
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Hi Tommy,
für b. schau bei http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?4244/9501
Und c: eine stetig behebbare Lücke, den rechts-lim und links-lim der Funktion gegen 0 sine beide 0.
Gruß
Matroid |
Hans
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 16:19: |
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Hallo :
1. Die Funktion cos bildet das Intervall [0,1] in
sich ab, und sie ist ferner kontrahierend, d.h.
es gibt ein q mit 0 < q < 1 derart dass
|cos(x)-cos(y)| 2 q |x-y| fuer alle x,y in
[0,1]. Daraus folgt : Die durch einen Start-
wert x_0 ( z.B. x_0 = 0.5) und die Rekursion
x_(n+1) = cos(x_n)
definierte Iterationsfolge (x_n) konvergiert
gegen die gesuchte Ls<caron>sung x* . Hier gilt sogar
x_(2k) < x* < x_(2k+1) fuer alle k
d.h. die Intervalle [x_(2k) , x_(2k+1] bilden
eine Intervallschachtelung fŸr x*.
Man sieht naemlich leicht, dass das Vorzeichen
der Differenzen x_(n+1) - x_n alterniert.
Somit laesst sich x* leicht einschachteln (TR!).
2. Betrachte die Funktion g(x) : x - f(x) und
wende den Zwischenwertsatz an.
3. Der Begriff "stetig" bzw. "unstetig" bezieht
sich nur auf Stellen im Definitionsbereich,
0 gehs<caron>rt hier nicht dazu. Es handelt sich
vielmehr um eine Definitionsuecke, die Frage
ist, ob diese behebbar ist oder nicht, d.h.
ob lim(x->0) f(x) existiert oder nicht.
Offenbar gilt lim(x->0) exp(-1/x^2) = 0.
Gruss
Hans |
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