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tm
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 09:35: | 
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Es sei
0 ® V1 ® V2 ® .....® Vk ® 0 eine Sequenz von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen, d.h.:
1. Die Vi sind K-Vektorräume, 0 bezeichne den K-Vektorraum, der nur die Null enthält, und
2. Die f(i) : Vi ® Vi+1 sind lineare Abbildungen.
Es gelte weiterhin für alle i = 1,....,k
Kerf(i) = Bildf(i-1)
(in diesem Fall nennt man übrigens die Sequenz exakt)
Zeige Sk i=1 (-1)i dimVi = 0 |
Arschmeier (Arschmeier)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Dezember, 2000 - 19:34: |
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Dimensionsformel für lin.Abbildungen:
dimV=rg(f)+ker(f),
da exakte Sequenz gilt:
dimVi=rg(fi)+rg(fi-1), da ker(fi)=im(fi-1).
Einfach in die Summe einsetzen, Summe auseinander-
ziehen und Du erhälst als Rest :
(-1)^k*rg(fk)+(-1)rg(f0)=0.
rg(fk)=0, da fk die Nullabbildung ist.
rg(f0)=0, V0=0 der Vektorraum ist der nur die
Null enthält und f0 linear ist (Null wird auf Null
abgebildet). q.e.d. |
Arschmeier (Arschmeier)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Dezember, 2000 - 21:00: |
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Aber ich hab ein anderes Problem.
Selbe Sequenz, aber nicht exakt.
Hi:=ker(fi)/im(fi-1),für i=1,...,k
Zeige:
(Summe i=1,...,k)(-1)^k*dimVi =
(Summe i=1,...,k)(-1)^k*dimHi |
Arschmeier (Arschmeier)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Dezember, 2000 - 21:31: |
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hat sich erledigt !!! |
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