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pete
| Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 20:11: |
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Hallo Leute, ich möchte gerne mit "einfacher" sphärischer Trigonometrie den Winkel der Strecke zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche zur Y-Achse (Länge) berechnen. Die Punkte liegen sehr nah beieinander (kleiner 10 km bzw. kleiner 3 km). Bitte helft mit mit der Formel, oder gebt mir einen Link auf eine Formelsammlung im Internet (?), in der ich sie nachlesen kann. Vielen herzlichen Dank. Pete |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 16:29: |
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Hi Pete, Es gilt zunächst,Kenntnisse aus der sphärische Geometrie zu aktivieren A] Der Flächeninhalt F eines sphärischen Dreiecks und der sphärischer Exzess epsilon des Dreiecks. Die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks ABC sind Grosskreisbögen der Kugel mit Mittelpunkt M , deren Radius R gegeben ist Die Seiten a , b , c des Dreiecks sind Winkel mit Scheitel in M , nämlich: a =Winkel (BMC), b = Winkel(CMA), c =Winkel (AMB) Die Winkel alpha ,beta , gamma des Dreiecks sind der Reihe nach die Winkel der Grosskreisebenen [AMB,AMC],[BMC,BMA],[CMA,CMB] Diese Winkel ergeben sich auch als Winkel der Tangenten der Grosskreisbögen in A,B,C. Die Winkelsumme S eines sphärischen Dreiecks ist grösser als 180°; der Ueberschuss über 180° heisst sphärischer Exzess epsilon und hängt vom Flächeninhalt des Kugeldreiecks ab. Es gilt, für den Flächeninhalt A des Dreiecks und für den Exzess epsilon = [alpha + beta + gamma } -180° die Beziehung: A = Pi * R^ 2 / 180° * epsilon. (epsilon im Gradmass) Ein Beispiel. Man bestimme die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks mit der Fläche A = 40000 km^2 (Fläche der Schweiz) auf der Erdkugel (Radius R = 6370 km). epsilon = A*180° / (Pi* R^2) = 0.0565° ~ 3.4 Min. B] Der Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie Analog zur ebenen Geometrie gibt es einen Kosinussatz ; er dient namentlich dazu, aus zwei Seiten a , b und dem Zwischenwinkel gamma die gegenüberliegende Seite c zu berechnen. Er lautet: cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos (gamma) ....(1) Wir werden ihn brauchen, wenn wir die sphärische Distanz zweier Punkte auf der Erdoberfläche berechnen wollen, die etwa durch ihre geographischen Koordinaten gegeben sind. (siehe weiter unten) C] Der Sinussatz der Sphärik Er lautet: sin (alpha) / sin a = sin (gamma) / sin c .........................(2) Wir benötigen diese Formel, um Deine Frage nach dem Richtungswinkel mit der Nordrichtung der kürzesten Verbindung der Punkte A und B auf der Kugel zu bestimmen. Auswertung in einer Fortsetzung dieses Beitrags. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 20:30: |
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Hi Pete, Will man nun den sphärischen Abstand zweier Punkte A und B auf der Nordhalbkugel der Erde je aus der geografischen Länge und Breite des Ortes ermitteln, so benützt man den Nordpol N = C als dritte Ecke im sphärischen Dreieck ABC Der Winkel c des Dreiecks ergibt sich als Differenz der geografischen Längen von A und B, die Seiten a und b als sogenannte Poldifferenzen, das sind die Ergänzungen der geografischen Breiten der Orte auf 90°. Wir wählen ein Beispiel: Abstand Zürich -Hamburg Daten von Hamburg: Länge 10.25°, Breite 53.48° ,daraus Polhöhe a = 36.52° Daten von Zürich: Länge 8.55°, Breite 47.38°, daraus Polhöhe b = 42.62° Differenz der Längen: gamma = 1.7° Mit dem Kosinussatz berechnen wir die Gegenseite AB = c: c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos (gamma) = 0.99416 daraus c = 6.1949° die sphärische Entfernung s rechnet sich aus R = 6370 km mit der Formel s = 2* Pi * R * 6.1949 / 360 ~ 689 km (plausibel !) Mit dem Sinussatz berechnen wir sin(alpha) = sin a * sin (gamma) / sin c = 0.16360, daraus : östliche Abweichung bez. Nordrichtung von Zürich aus mit 9.42° Dies lässt sich leicht bei einem Flug von Z. nach H. realisieren! Benzin für 700 km sollte knapp reichen ?! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
joaquin
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 21:39: |
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hallo, ich bin einen Schüler auf einer deutschen Schule in Spanien und ich würde gerne etwas(Grundkenntnisse) über sphärische Geometrie wissen, denn ich im Sommer in einen Mathekurs hingehen werde und ich will eine gute Basis haben.Es würde mich sehr freuen wenn Sie mir zum E-mail etwas senden würden. Es muss nicht sehr gründlich sein, ich bin nicht doof!! Herzlichen Dank! pd:Entschuldigung für die Sprache, aber ich kann kein deutsch schreiben, obwohl ich es sehr gut verstehe. Joaquin |
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