Autor |
Beitrag |
karo
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 12:08: |
|
Hallo, wie beweise ich für f(x) = sgn(x), dass die Funktion zwar intbar ist, aber keine Stammfunktion hat? Gibt es noch andere Beispiele, die vielleicht einfacher sind? Danke! |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 237 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 14:23: |
|
karo : Nimm an, f : x-> sgn(x), x in IR, besitze eine Stammfunktion F(x) d.h.: F(x) differenzierbar und F'(x) = f(x) für alle x in IR. Nach Def. von sgn(x) müsste dann gelten F(x) = x + a für x > 0, F(x) = x + b für x < 0, wobei a,b Konstanten sind. Zunächst muss F an der Stelle 0 stetig sein, daraus folgt F(0) = a = b. Kann dann F bei x = 0 differenzierbar sein ? Die Differenzenquotientenfunktion an der Stelle 0 ist (F(x) - F(0)/(x - 0) = ( F(x) - a)/x = 1 - a/x für x < 0 , und = -1 + a/x für x > 0. Offenbar existiert lim[x->0]{(F(x) - a)/x} für keine Wahl von a, d.h. es gibt kein F der verlangten Art. Andererseits ist f trivialerweise integrierbar, denn f ist in IR-{0} stetig , und hat bei 0 eine Sprungstelle mit endlicher Sprunghöhe . Das ist wohl das einfachste Beispiel dieser Art. mfg Orion |
|