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Oliver (skullwarrior)
Neues Mitglied
Benutzername: skullwarrior
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 17:15: | 
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Aaaarg, ich komme einfach mit diesen drei Begriffen nicht zurecht. Könnte mir jemand explizit genau erklären was damit gemeint sei, wie ich anhand einer Funktion bzw. eines Graphen erkenne was Injektivität, Surjektivität, Bijektivität ist und wie ich durch Abbildungen dies erkenne.
Bsp:
f:C --> C, z |--> z*/8
C=Komplexe Zahlen
z*=konjugiert
|--> = wird abgebildet auf...
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Olli} |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 18:39: |
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Hi Oliver,
bei den komplexen Zahlen kommst du geometrisch nicht weit, weil man sich den C(hoch2) nicht mehr vorstellen kann.
Für Abbildungen von R nach R:
Injektiv: wenn jede parallele zur x-Achse nur einen Schnittpunkt mit dem Graphen hat.
Surjektiv: wenn alles erreicht wird, was erreicht werden soll. xhoch2 ist zum Beispiel als Abbildung von R nach R nicht surjetiv, aber als Abbildung von R nach R>=0. Viele Abbildungen kann man sich durch Einschränkung des Wertebereiches surjetiv machen. Man schränkt sie einfach auf ihr Bild ein.
Bijektiv ist die Abbildung halt, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Bei Deiner Aufgabe kannst du auf verschiedene Weisen vorgehen.
Du kannst die Eigenschaften nachrechnen.
Injektiv: Sei f(a) = f(b). Zeige a=b. Oder sei a ungleich b, zeige f(a) ungleich f(b).
Surjektiv: nehme ein beliebiges a aus C und finde ein b aus C mit f(b)=a.
Oder du findest eine Umkehrabbildung g und rechnest nach, dass fg=id und gf=id ist.
Gruß clara |
Oliver (skullwarrior)
Junior Mitglied
Benutzername: skullwarrior
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 21:10: |
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@ clara
hmm, ok...den ersten Teil habe ich nun verstanden. Leider ist mir Dein Beispiel mit meiner gestellten Aufgabe noch nicht ganz klar. Wie darf ich mir f(a)=f(b) vorstellen?? Sind a und b zwei ungleich gewählte x-Werte, die ich dann in die Funktion einsetze und sehen muß das im Enddefekt beide berechneten Werte identisch zueinander sind? Ebenso habe ich es für Surjektiv noch nicht verstanden.
Wie darf ich das mit den Umkehrabbildungen verstehen? Was ist id? Ist i der Im Anteil? Aber was ist d??
Olli |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 22:30: |
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Hallo Oliver,
injektiv:
I) Jeder Wert f(x) kommt genau (nur) einmal vor. Mit a ungleich b ist also f(a) auch ungleich f(b).
ODER:
II) Mit f(a)=f(b) muß folgern, a=b, wenn f injektiv ist.
So ist z.B. f(x)=x^2 NICHT injektiv:
nach I)
Mit a=-2 und b=2 ist a ungl. b, aber f(a)=4 und f(b)=4 => f(a)=f(b). Also kann f NICHT injektiv sein.
ODER nach II)
Mit f(x)=4 folgt x=2 oder x=-2. Aber -2 ungl. 2.
g(x)=x^3 ist injektiv, denn
nach I) mit a<b => a^3<b^3 (analog für a>b) => Mit a ungl. b ist g(a) ungl. g(b).
ODER nach II)
Sei g(x)=b. Dann ist x=3eWurzel(b) und damit eindeutig !
(Achtung: Dies ist nur grobe Def. Eigentlich müßte da stehen: Seien A,B Mengen. Dann heißt eine Funktion f:A->B injektiv....)
Surjektiv:
Sei t: A->B mit A,B Mengen. Dann ist t surjektiv, wenn es zu jedem b aus B (mindestens) ein a aus A gibt, mit t(a)=b.
Bsp.:
f: R -> R+(mit0) und f(x)=x^2.
Dann ist f surjektiv, denn zu jedem Wert r aus R+(mit 0) [f: R -> R+(mit0)] gibt es (mindestens) ein x aus R [f: R -> R+(mit0)] mit f(x)=r.
Z.B. gibt es für f(x)=9 den x-Wert 3 ( aus R) oder den x-Wert -3 (aus R). (Beachte: HIER MUSS NICHT 3=-3 folgern, es wird nur verlangt, daß es MINDESTENS einen solchen x-Wert gibt !!!)
Änderst du dies folgendermaßen:
Sei f(x)=x^2 mit f: R->R, dann ist f NICHT mehr surjektiv, denn es gibt kein r aus R- (Beachte: R- ist Teilmenge von R; f: R -> R), so daß es ein x aus R (f: R -> R) gibt mit f(x)=r.
Bsp.:
Es gibt zu -9 aus R (f: R -> R) keinen x-Wert aus R (f: R -> R) mit x^2=-9.
Bei Fragen einfach weiterfragen...
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Mai, 2002 - 22:44: |
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So, nochmal zur genaueren Beantwortung deiner Frage an Clara:
"Leider ist mir Dein Beispiel mit meiner gestellten Aufgabe noch nicht ganz klar. Wie darf ich mir f(a)=f(b) vorstellen?? Sind a und b zwei ungleich gewählte x-Werte, die ich dann in die Funktion einsetze und sehen muß das im Enddefekt beide berechneten Werte identisch zueinander sind?"
NEIN, daß dürfen sie gerade nicht sein, wenn f INJEKTIV sein soll !!! Wenn a und b verschieden sind, so müßen dann bei Injektivität auch f(a) und f(b) verschieden sein !!!
Siehe injekiv I) bei mir.
Ebenso habe ich es für Surjektiv noch nicht verstanden.
Du mußt für JEDEN Wert aus B (mindestens) ein Wert aus a finden !!! (vergleiche Surjektiv bei mir).
Falls immer noch Unklarheiten, einfach nachfragen.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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