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Sandra (Sics)
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 15:31: |
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Hallo, suche verzweifelt Hilfe für diese beiden Teilaufgaben: a) Man zeige, dass für jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge A aus R gilt: inf(A) = -sup(-A) b) Seien A,B aus R nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen und sei die Menge A + B definiert durch A + B = {a+b: a Element A, b Element B}. Man zeige sup(A+B)= supA +supB. Vielen vielen Dank! |
Peer Dampmann (Peerd)
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:33: |
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Also zu b) Zu zeigen ist (i) , daß supA + supB eine obere Schranke von A+B ist und daß (ii) KEINE kleinere obere Schranke existiert. zu (i): Sei x aus A+B beliebig. Dann ist x=a+b mit a aus A und b aus B Aus a <= sup A und b <= sup B folgt wegen der Monotonie der Addition ---------------------------------------------- Rekapitulation Monotonie Addition Für alle x,y,z aus K gilt x<y -> x+z<y+z ---------------------------------------------- x=a+b <= sup A + sup B -> sup A + sup B ist eine obere Schranke von A+B Zu (ii): Sei alpha < (sup A + sup B) beliebig. Zu zeigen ist, daß alpha KEINE obere Schranke von A+B ist. Mit epsilon := (sup A + sup B) - alpha ist auch epsilon/2 > 0 . Also sind sup A - epsilon/2 und sup B - epsilon/2 keine oberen Schranken von A bzw. B. Demnach gibt es Elemente a aus A und b aus B mit (sup A - epsilon/2) < a und (sup B - epsilon/2)< b Wegen der Monotonie der Addition folgt (supA - epsilon/2)+(supB - epsilon/2) = (supA + supB)-epsilon < a+b Aber a+b ist aus A+B Also ist alpha =(supA + supB)-epsilon keine obere Scharnke von A+B |
Peter
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. November, 2000 - 22:39: |
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a) ich weiss nicht so genau was das -A zu bedeuten hat. etwa; sei x e A dann ist -x e -A oder so was ? naja wie auch immer.. b) so .. da A, B nicht leer => A + B nicht leer und da A, B nach oben beschränkt (A, B haben jeweils ein sup) ist auch A + B nach oben beschränkt. also existiert ein sup von A + B. da jedes element aus A + B über a + b definiert ist mit a element A und b element B, existieren a, b mit sup(A+B)=a + b. indirekter beweis: angenommen a ist kein sup von A => es existiert ein element c aus A mit a < c => a + b < c + b => sup(A+B) < c + b, wobei c + b element aus A + B das ist aber ein wiederspruch zu annahme.. => a = sup A für die menge B analog qed. weiss nicht so genau ob der beweis dicht ist, denn er ist mir gerade eingefallen. |
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