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KlausDieter (mrx)
Junior Mitglied
Benutzername: mrx
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 07:51: | 
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Prüfen Sie, ob es sich bei folgenden Ausdrücken um totale Differenziale handelt :
a)z dx + cosy dy + x dz
b)(2x + y) dx + (2x + 1) dy
c)(2 -6x-12x²)e-(3x²+y²dx-(2y + 3x) e-(3x²+y²)dy.
Versuchen Sie ggf. eine Funktion f zu finden, die das betreffende Differenzial besitzt.
Vielen Dank!!
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juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 12:35: |
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Hallo KlausDieter,
Du hast es hier mit maximal drei unabhängigen Variablen zu tun, weshalb ich mich beim allgemeinen Teil darauf beschränke, Verallgemeinerungen auf mehrere Variable sind leicht möglich.
Ich bezeichne mit (df/dx), (df/dy), usw. die PARTIELLEN Ableitungen von f nach x, y, usw.
Das Differential df ist dann gegeben durch
df = (df/dx)*dx + (df/dy)*dy + (df/dz)*dz
Im Allgemeinen sind die partiellen Ableitungen immer noch Funktionen von x,y,z, also sei
(df/dx) = u(x,y,z)
(df/dy) = v(x,y,z)
(df/dz) = w(x,y,z)
df ist jetzt ein totales Differential, wenn folgendes gilt:
(du/dy) = (dv/dx)
(du/dz) = (dw/dx)
(dv/dz) = (dw/dy)
Allgemein: df = Summe(gi*dxi) genau dann total, wenn (dgi/dxj = (dgj/dxi) für alle i, j gilt.
a) u(x,y,z) = z
v(x,y,z) = cosy
w(x,y,z) = x
Zu zeigst leicht, daß alle geforderten partiellen Ableitungen identisch Null also gleich sind, es liegt ein totales Differential vor.
Eine mögliche Funktion ist z.B.
f(x,y,z) = x* z + siny
b) u(x,y) = 2x + y
v(x,y) = 2x + 1
(du/dy) = 1
(dv/dx) = 2
=> kein totales Differential
Bei Aufgabe c) ist Deine Schreibweise verwirrend, e^(-...), *e-, oder was?
Aber egal wies gemeint ist, müsstest Du jetzt klarkommen, oder?
Have fun
J. |
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