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Erni
| Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 16:41: |
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Man zeige, dass Differentialgleichungen der Form y`= f(ax+by+c) mit b>0 durch die Substitution v = ax+by+c gelöst werden können. Man löse mit dieser Methode die Differential-gleichung: y`= (8x+2y+1)². |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 21:55: |
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Hi Erni, Das geht so: Substitution u (x,y) = ax + by + c Ableitung nach x: u' = a + by' Werden u und u ' in die gegebene DGl. eigesetzt,sokommtà u ' = a + b * f(u) Die Variablen lassen sich jetzt trennen: du / { a + b*f(u) } = dx Integration beider Seiten: Ermittlung von u(x) und Rücksubstitution führt zum Ziel Beispiel y ' = (8 x + 2 y + 1) ^ 2 , mit u = 8 x + 2y + 1 erhalten wir: u' = 8 + 2 * y ' = 8 + 2 * u ^ 2 Separation der Variablen: du / ( 8 + 2* u ^ 2 ) = dx Integration: 1/8 * int [ du / {1 + (u /2) ^ 2} ] = x + c ¼ * arc tan ( u / 2 ) = x + c u = 2* tan (4*x+C) Substitution rückgängig gemacht: 8x + 2y + 1 = 2* tan ( 4*x + C) oder y = tan (4*x + C) - 4*x - ½ als Schlussresultat. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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