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timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2000 - 21:57: | 
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ich habe eine frage:
was sind differentiale dx, dy, dt...?
in einem schlauen buch habe ich folgedes gefunden,
kann aber nicht damit anfangen:
[D:="delta"]
f'(x)=lim Dx->0 [(f(x+Dx)-f(x))/Dx]...
soweit alles klar...
wenn man Dx jetzt durch dx ersetzt, was ist dann dy???
vielen dank fuer hilfe im vorraus! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 20:38: |
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Hallo Timo,
Differentiale sind Ausdrücke von beliebig kleiner Größe. Ich kann Dir hier nur eine kurze Einführung geben, denn Differentiale sind in der Mathematik von so großer Bedeutung, dass sie mit gebührender Sorgfalt besprochen werden sollten.
Das von Dir angegebene Beispiel ist der Einstieg in die Welt der Differentialrechnung und damit in die Differentiale. Mit Dx kennzeichnet man in der Mathematik eine Differenz, in Deinem Fall soll Dx = b - a sein. Das kennst Du sicherlich vom Steigungsdreieck bei linearen Funktionen: Man ermittelt die Steigung m, indem man die Höhendifferenz Dy durch die Entfernungsdifferenz Dx dividiert. Dx stellt also irgendeinen Ausschnitt aus einer Strecke auf der x-Achse dar.
Das Prinzip der Differentialrechnung ist nun, das man dieses Steigungsdreick beliebig klein werden läßt, die Strecken Dx und Dy "über alle Grenzen schrumpfen läßt". Das heißt: Dx und damit auch Dy werden so unvorstellbar klein, dass man sie nicht mehr mit einer Zahl ausdrücken kann. Sie werden so sog. "Differentialen", welche man anstatt mit Dx->0 mit dx bzw. anstatt mit Dy->0 mit dy kennzeichnet.
Was Du unbedingt nachvollziehen musst, in das Prinzip, was dahintersteckt. Ich bin mir sicher, in Deinem "schlauen Buch" ist neben Deinem Beispiel auch eine Skizze, die den Sachverhalt verdeutlicht. Aus der Sekante, die die Funktion in (zwei...) Punkten schneidet wird, wenn Dx gegen Null geht, eine Tangente. Dort, wo die Tangente (ihrem Namen nach) den Graphen berührt, kann man nun einfach die Steigung der Funktion an diesen Berührpunkt ablesen. Dies gibt der Term
f'(x)=lim Dx->0 [(f(x+Dx)-f(x))/Dx]
an, den man für Dx->0 den "Differentialquotient" der Funktion f(x) nennt.
Ich hoffe, das alle Unklarheiten beseitigt wurden!
Viele Grüße
 Oliver |
Karl
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. August, 2000 - 20:51: |
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Universitäts-Niveau? |
timo grodzinski (Timo_G)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. August, 2000 - 15:37: |
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vielen dank!
hmmm, ich hatte eigentlich versucht, dir per mail zu antworten, hat wohl nicht geklappt oder ist
nicht angekommen... egal, mache ich es halt direkt.
ich habe in meinem viel zu "schlauen" buch gelesen, dass dx und dy nicht zwanglaeufig sehr
klein sein muessen, wie das bei Dx und Dy der
fall ist, da der quotient dy/dx die steigung der
tangente und nicht die der sekante angibt...
aber ich habe jetzt noch eine frage:
die erste ableitung f'(x) einer fkt f(x) ist dann:
dy/dx.
somit ist die zweite ableitung:
d(dy/dx)/dx.
dies soll aber nun laut buch :-[ folgendes sein:
d^2y/dx^2 ???
das verstehe ich nicht
vielleicht kannst du mir ja nochmal helfen...
vielleicht kann karl das ja auch, der scheint ahnung zu haben...?!
vielen dank im voraus...
timo |
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