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Nicole (nixal)
Mitglied Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 11 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. März, 2003 - 19:55: |
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HILFE! Weiß jemand wie man dieses Bsp lösen könnte? Für 0<y<x mit xy=2 definiere x'=(x+y)/2 und y'=2/x'. Dann gilt y<y'<sqrt2<x'<x. Wiederholt man diese Operation, erhält man eine Intervallschachtelung für sqrt2. Berechne die ersten 5 Intervalle, wenn man von y=1, x=2 ausgeht. Wieviele Iterationsschritte (was ist das überhaupt?) sind notwendig, um sqrt2 auf 10 bzw. 100 Stellen genau zu berechnen? nixal |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 515 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. März, 2003 - 08:48: |
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Nicole: Zunächst gilt für beliebige x,y > 0: (1) (x+y)/2 >= sqrt(xy) mit "=" genau dann wenn x=y. ("arithmetisches Mittel >= geometrisches Mittel": Dies folgt z.B. aus (sqrt(x)-sqrt(y))2>=0 durch Quadrieren und Umordnen). Nach (1) ist also x' > sqrt(xy)=sqrt(2) und daher y'=< 2/sqrt(2)=sqrt(2). Wegen x'<x folgt x'y<xy=2, also y<2/x' = y' schliesslich x'<(x+x)/2=x. Damit ist obige Ungleichungskette bewiesen. Nun schätzen wir die Differenz x'-y' ab; 0=<x'-y'=(x+y)/2-4/(x+y)=(1/2)[(x+y)2-8](x+y) =(1/2)(x-y)2/(x+y) = (1/2)(x-y)*[(x-y)/(x+y)] < (1/2)(x-y). Die Länge x'-y' des Intervelles [y',x'] ist also weniger als die Hälfte der Länge x-y des Intervalles [y,x]. Nun definiert man rekursiv eine Folge von Intervallen [yn,xn] durch x0:=x, y0:=y und xn+1 := x'n = (xn+yn)/2, yn+1:=2/x'n. Nach obigen Abschätzungen gilt für alle n=0,1,2,... yn<yn+1 < sqrt(2)<xn+1<xn sowie 0<(xn+1-yn+1)<(1/2)(xn-yn), also (Induktion!) 0<xn-yn < (1/2)n(x-y). Die Intervallängen xn-yn bilden somit eine Nullfolge, und die Folge der Intervalle [yn,xn] ist eine Intervallschachtelung,welche die reelle Zahl sqrt(2) erfasst.
mfG Orion
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1060 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. März, 2003 - 09:34: |
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der Fehler nach irgend einer Iteration, die aus x,y x+,y+ macht sein f; nach der nächsten Iteration wird daraus der Fehler f+ . da der Fehler für (1+2)/2 - Wurzel(2) =0.08... < 1 ist ist sicher f+ < f, der 2te Faktor nähert sich, steigend, Wurzel(2) / 2, maßgebelich für eine Abschätzung ist also der 1te Faktor, iteriert also f2n/2n Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nicole (nixal)
Mitglied Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 12 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. März, 2003 - 10:53: |
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Hallo Orion! Hätt noch eine kurze Frage an dich, ich sitz schon seit einer Stunde bei diesem Bsp und verstehe einfach nicht wie du von (1/2)[(x+y)²-8](x+y)=(1/2)(x-y)²/(x+y) kommst. Wenn du mir hier noch weiterhelfen könntest wäre ich dir sehr dankbar! lg nixal |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1073 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. März, 2003 - 13:40: |
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ich hoffe, Orion ist nicht böse, wenn ich nochmals zu helfen versuche. die Zeile 0 <= x'-y' = .. = (1/2)[(x+y)^2 - 8](x+y) muß wohl richtig ... (1/2)[(x+y)^2 - 8] / (x+y) lauten . (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x² + 4 + y^2 damit wird dann (1/2)[(x+y)^2 - 8] / (x+y) = (1/2)[x^2 - 4 + y^2] / (x+y) und weil y^2 < 4 gilt gilt x^2 - 4 + y^2 < x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) somit x'-y' < (x-y)/2 Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nicole (nixal)
Mitglied Benutzername: nixal
Nummer des Beitrags: 13 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. März, 2003 - 15:56: |
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DANKE!!! Hab mir eh gedacht, dass er den Bruchstrich vergeßen hat, aber ich war mir nicht ganz sicher, also nochmals danke! lg nixal |
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