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Beitrag |
    
Karl
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 17:33: | 
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Hallo
Es ist wieder soweit ! Die Dgl., die ich, trotz vieler Anläufe ,
nicht lösen kann, lautet:
(1+x )^ 2 * y´´ + (1+x)* y ´ + y = 0
Ich muss wieder um Hilfe bitten und danke dafür schon im voraus
Karl |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 07:14: |
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Karl :
Hinweis : Die Dgl.
t^2*z''(t) + t*z'(t) + z(t) = 0
wird durch die Substitution
z(t) = w(u) mit u = log(t) zu
w"(u) + w(u) = 0.
mfg
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 08:02: |
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Hi Karl,
Wir versuchen es wiederum mit der Einführung einer
neuen unabhängigen Variablen t statt x .
Die Ableitungen nach t bezeichne ich durch den Punkt °
für die erste Ableitung und mit zwei Punkten °° für die
zweite Ableitung nach t .
Eine geeignete Substitution ist t = ln (1+x), also 1+x = e^t
Daraus folgt der Reihe nach:
dy/dx = dy/dt * dt/dx = y° * 1/(1+ t) = y° * e^(-t)
d^2y / dx^2 = d (dy/dx)/dx = d (dy/dx)/dt * dt/dx =
[-y°/e^t + y°°/e^t]* 1 / (1 + x ) = 1/e^t* [-y° + y°°] * 1 / (1 + x ) =
[-y° + y°°] * 1 / (1 + x) ^ 2
Setzt man dies in die gegebene Dgl. ein, so vereinfacht sich diese zur
routinemässig lösbaren Dgl.
y°° + y = 0 (y ° hat sich weggehoben !)
charakteristische Gleichung k^2 + 1 = 0 mit den Lösungen k1 = i1 ,k2 = - i1
.
Allgemeine Lösung der transformierten Gleichung:
y(t) = A * cos [ln(1+x)] + B * sin[ ln(1+x)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wie geht Maple mit der Aufgabe um ?
Echt sibyllinisch meldet das Computeralgebra–System als Ergebnis
y(x) = C1 (1+x)^(-I) + C2*(1+x)^I , richtig !
MfG
H.R.Moser,megamath. |
Karl
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 21:30: |
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Hallo Orion, Hi H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für eure einfallsreiche Lösung !
Karl |
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