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Chris chris (chrs)
Neues Mitglied
Benutzername: chrs
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 17:07: | 
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Hi,
In einer Mathe Vorlesung wurde folgende Aufgabe (Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung) gestellt. Da die Lösung "Komplex" wird, weiss ich. Aber wie man auf das Resultat kommt ist mir nicht mehr bekannt 
Homogener Fall:
y'' -2y' +10y = 0
Dann schreibt man das doch so um:
r^2 -2r +10 = 0
Aber das r kann man nicht so einfach bestimmen. Laut Lösung ist r:
r = (2 +- Wurzel(4 - 40))/2 = 1 +- 3j
Wie kommt man auf das r?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 19:30: |
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Chris,
Für y(x) macht man den Ansatz y(x) = erx, das
führt auf die charakteristische Gleichung
r2-2r+10=0. Das ist eine quadratische
Gleichung (sollte noch von der Schule her geläufig
sein !) mit den beiden konjugiert komplexen
Lösungen
r1=1+3i , r2=1-3i
(Rechne nach !)Somit hat man die beiden komplexen
Lösungsfunktionen
y1(x)=exp(x+3ix) = ex(cos(3x)+i*sin(3x))
y2(x)=exp(x-3ix)=ex(cos(3x)-i*sin(3x))
Dann sind auch Real-und Imaginärteil hiervon
Lösungen der Dgl., nämlich
u(x)=ex*cos(3x) und v(x)=ex*sin(3x)
Bestätige das durch Einsetzen !
mfG Orion
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