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Beitrag |
Jürgen
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 11:04: |
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Suche:Int t^4*(1-t)^4/(1+t)^2 dt |
Beach
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 15:13: |
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I = ò t^4*(t-1)^4 *1/(1+t)^2 dt gesucht sei zunächst die Stammfunktion von 1/(1+t)², die ist -1/(1+t) damit partiell integrieren: I = [t^4*(t-1)^4 * (-1/(1+t))] - ò (4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³) * (-1/(1+t)) dt I = [t^4*(t-1)^4 * (-1/(1+t))] + ò (4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³) /(1+t) dt sei J = ò (4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³) /(1+t) dt 4t³*(t-1)^4 + t^4 * 4(t-1)³ ausmultiplizieren: = 4t^3 -20t^4 +36t^5 -28t^6 +8t^7 => J = ò (8t^7 -28t^6 +36t^5 -20t^4 +4t^3)/(1+t) dt Polynomdivision: (8t^7 -28t^6 +36t^5 -20t^4 +4t^3) : (t+1) = 8t^6 -36t^5 +72t^4 -92t^3 +96t^2 -96t +96 -96/(t+1) => J = ò (8t^6 -36t^5 +72t^4 -92t^3 +96t^2 -96t +96 -96/(t+1) ) dt = [(8/7 t^7 -6t^6 +72/5 t^5 -23t^4 +32t^3 -48t^2 +96t -96ln|t+1| ] => I = [t^4*(t-1)^4 * (-1/(1+t))] + [(8/7 t^7 -6t^6 +72/5 t^5 -23t^4 +32t^3 -48t^2 +96t -96ln|t+1| ] nun noch zusammenfassen... I = (t^8/7 -6t^7/7 +12t^6/5 -23t^5/5 +8t^4 -16t^3 +48t^2 +96t)/(1+t) -96ln|1+t| |
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