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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 13:29: | 
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Hi Ihr!
Habe hier wieder zwei Aufgaben,die ich nicht kann!Bitte helft!!!
1.A,B,C seien drei Mengen.Beweisen Sie die Mengengleichung Ageschnitten(B vereinigt C)=(A geschniten B) vereinigt (A geschnitten C).(LEIDER weiß ich nicht,wie man die Zeichen dafür einfügt!!)
2.f:A-->B und g:B-->C seien zwei injektive Abbildungen.Zeigen sie,daß dann auch die "zusammengesetzten Abbildung"
g°f:A-->C,welche jedem a e(element)A den Wert g(f(a)) zuordnet, injektiv ist.(Der Punkt zwischen g°f ist in der Aufgabe natürlich tiefer.Weiß nicht,ob das ein Mal sein soll!)
Ich hoffe, ihr könnt sie!DANKE!
Gruß Miriam |
ren
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 17:20: |
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Hallo Miriam,
Zu 1)
Ich verwende die Zeichen v für "vereinigt mit" und g für "geschnitten mit" .
Fall 1: Ist a ein Element , das nicht zu A gehört, dann gehört es auch weder zu A g ( B v C ) noch zu ( A g B ) v ( A g C ), also zu keiner der beiden Mengen rechts und links vom Gleichheitszeichen..
Fall 2: Das gleiche gilt, wenn a zwar zu A, nicht aber zu B oder C gehört. In dem Fall gehört es
nicht zu B v C , nicht zu A g B und nicht zu A g C, also zu keiner der beiden Mengen rechts und links vom Gleichheitszeichen.
Bleibt noch der
Fall 3: a gehört zu A und mindestens einer der Mengen B und C. Dann gehört a auch zu
B v C , somit zur Menge auf der linken Seite der Gleichung. Außerdem gehört a zu A g B oder zu A g C , also zur Menge auf der rechten Seite der Gleichung. Also gehört es zu beiden der durch das Gleichheitszeichen verbundenen Mengen.
Zu 2)
f ist injektiv, d.h. aus f(a) = f (b) folgt a = b
g ist injektiv, d.h. aus g(a) = g(b) folgt a = b
Aus g (f(a)) = g (f(b)) folgt wegen (2) f(a) = f(b); daraus folgt wegen (1) a = b, also ist g°f injektiv. |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 12:47: |
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Hi ren!
Danke! Werde mich gleich mal hinsetzen und mich reindenken!
Gruß und schönes Wochenende
Miriam |
brrr
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 16:02: |
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zu 1:
man könnte auch so anfangen:
man nimmt an ,dass a ein Element ist, für das gilt:
a ist Element von (e) [ A g ( B v C ) ]
==> ( daraus folgt )
a e [ A ] UND a e [ B v C ]
( UND meint ein logisches UND )
Nichts anderes meint ja der Satz davor.
Wende ich die gleiche Umformulierung nochmal an, komme ich auf den Fall 3 von ren:
==>
a e [ A ] UND ( a e [ B ] ODER a e [ C ] )
bedeutet also : a gehört zu A und mindestens einer der Mengen B oder C !!!
==>
a e [ A ] UND ( a e [ B ] ODER a e [ C ] ) = a e [ A ] UND ( a e [ B ] ODER ( a e [ C ] UND a e [ A ] )
Denn wenn ich vorne schon A UND-verknüpfe, dann kann ich es in der Klammer zusätzlich auch, ohne das das Ergebnis verändert wird:
==>
Ich kann dies nun auch für B tun :
a e [ A ] UND (a e [ B ] ODER a e [ C ] ) = a e [ A ] UND (( a e [ B ] UND a e [ A ] ) ODER ( a e [ C ] UND a e [ A ] ))
==>
Nun kann ich das a e [ A ] am Anfang weglassen, da ich jetz im Prinzip sage im zweiten Teil das gleiche sage.
Also : ( a e [ B ] UND a e [ A ] ) ODER ( a e [ C ] UND a e [ A ] )
==> was ich am Anfang in die eine Richtung angewendet habe, kann ich nun in die andere:
a e [ B g A ] oder a e [ C g A ]
==>
a e ( [ B g A ] v [ C g A ] )
==> Wir haben bewiesen , dass :
A g ( B v C ) Teilmenge ( A g B ) v ( A g C )
Wir haben eine HÄLFTE des Beweises !!!
Um die andere zu bekommen, muss man die gleichen akribische Umformungen in die andere Richtung machen, heisst, man fängt bei a e [( A g B ) v ( A g C )] an und erhält am ende a e [A g ( B v C )
]
daraus folgt dann :
( A g B ) v ( A g C )Teilmenge A g ( B v C )
Und aus einer Aussage
A Teilmenge B und B Teilmenge A folgt das A = B
Fertig ist der Beweis.
Klar ist die andere Methode viel einfacher und kürzer, doch musst ich mir gerade Vorgestern erst anhören, dass es nicht ausreicht und ich es über diese Teilmengen beweisen muss.
Wenn fragen sind , dann hier nochmal melden .
Tschö! |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 16:35: |
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Hi brrr!
Ich habe jetzt mal Teil 2 des Beweises gemacht und wollte Dich nochmal fragen,ob das richtig ist.Schreib ihn jetzt nochmal hin:
a e ((A g B) v (A g C))
==>(a e (A) UND a e (B)) v (a e (A) UND a e (B))
==>(a e (A) UND a e (B) ODER (a e (A) UND a e (B))
==> a e (A) UND ((a e UND a e (B)) ODER (a e (A) UND a e (C))
==>a e (A) UND (a e (B) ODER (a e (A) UND a e (C))
==>a e (A) UND (a e (B) ODER (a e (C))
==>a e (A g (B v C))
Das wärs!Ich hoffe, es stimmt. Jetzt habe ich noch eine Frage und zwar im Schritt, wo Du schreibst:
Denn wenn ich vorne schon A UND verknüpfe, dann kann ich es in der Klammer zusätzlich auch, ohne das das Ergebnis verändert wird. DAS VERSTEH ICH NICHT! Ist das denn dann nicht doppelt gemoppelt?Wenn Du in die Klammer A UND schreibst und außen auch? Dann wäre das ja ausmultipliziert (A UND )^2!!!! Oder darf man das?
Danke schonmal, daß Du es nochmal auf diesem Weg gelöst hast!
Lieber Gruß Miriam |
brrr
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 00:38: |
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Der Weg ist soweit richtig, ich glaube nur, am Anfang musst Du erst die äusserste Klammer auflösen, also:
==> a e (A g B) ODER a e (A g C)
==> (a e A UND a e B) ODER (a e A UND a e C)
Hier jetzt die Erklärung:
Hier haben wir es ja nur mit logische Verknüpfungen zu tun und nicht mit Mal oder Plus.
Klar benutzt man das a e A doppelt , aber ebend als logische Aussage.
Ich kann sagen:
Der Mathe-Prof ist blöd UND (( er ist langweilig UND blöd ) ODER ( er ist total unfähig UND blöd )).
Also ist hier die logische Verknüpfung:
MP blöd UND (( MP langweilig UND MP blöd ) ODER ( MP unfähig UND MP blöd )).
Das logisch UND ist die stärkste Verküpfung in diesem Fall. Der MP wird nicht doppelt blöd, nur weil ich es zweimal erwähne.
==> a e A UND ((a e A UND a e B) ODER (a e A UND a e C))
==> a e A UND ((a e B) ODER (a e C))
==> a e A UND a e (BvC)
==> a e ( A g ( B v C ))
Ich hoffe , dass Du verstehst , was ich meine . Frag ruhig nochmal nach, wenn noch unklar ist das !!
UND !!! Denke an die Klammern. Da sind die Profs pingelig , Also erst die äusserste Klammer auflösen!!!
Also viel Spass beim studieren !!!
Ich fange auch gerade an und hab glaub ich die gleichen Probleme . Also nech unterkriege lasse!!
Darf ich indiskret fragen , wo Du studierst und wie es bis jetzt ist ??? Ich in Bo.
brrr |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 17:28: |
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Hi brrr!
Also ich denke, jetzt hab ich verstande, wie Dus gemeint hast! Das Beispiel mit dem Matheprof ist sehr gut! :o)
Ich studiere in FFM! Ziemlich nervig im Moment, da die Anzahl an Erstsemester alle Kapazitäten übersteigt.
Ich wünsche Dir dann auch viel Spaß beim Quälen durch den Dschungel der Mathematik! Ein Semester habe ich schon erfolgreich hinter mir!
Gruß und DANKE!
Miriam |
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