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Dirk (Dirk7100)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 14:05: |
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Bitte lösen Sie folgende Aufgabe: y''+2y'+2y=2(e^(-x)*cosx y(0)=0 y'(0)=1 Vielen Dank im voraus !!! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. August, 2001 - 16:17: |
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Hallo : Zuerst loesen wir die homogene Gleichung (rechte Seite = 0) und finden die beiden Fundamentalloesungen y_1 = e^(-x)*cos(x), y_2 = e^(-x)*sin(x). Ferner benoetigen wir eine partikulaere Loesung der inhomogenen Gleichung (rechte Seite = 2*e^(-x)*cos(x)). Am einfachsten gehen wir ueber's Komplexe: die rechte Seite ist der Realteil der Funktion 2*exp[(-1+i)x]. Fuer die gesuchte Loesung machen wir den Ansatz z = w*exp[(-1+i)x] , wobei w(x)=u(x)+i*v(x). Setze z in die Dgl z" + 2 z' + 2 z = 2*exp[(1+i)x] ein, dann findest du fuer w die Dgl w" + 2 i w' = 2 mit der offensichtlichen speziellen Loesung w = - i x <==> u = 0 , v = -1 Die Funktion Re{-i*x*exp[(1+i)x]} = x*sin(x)*e^(-x) ist somit eine partikulaere Loesung der gegebenen Dgl.Deren allgemeine Loesung lautet also y = {x*sin(x) + C_1*cos(x) + C_2*sin(x)}*e^(-x). Die Integrationskonstanten C_1,C_2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Endergebnis (rechne bitte alles nach): y = (x+1)*sin(x)*e^(-x). mfg Hans |
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