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Julia
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 12:37: |
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Kurz und bündig: Ich brauche Hilfe! In Krummliniegen Koordinaten habe ich schon immer Probleme gehabt: Es seien die folgenden Abbildungen von R^3 in sich gegeben: p(r,phi,teta):=(r*sin(teta)*cos(phi), r*sin(teta)*sin(phi), r*cos(teta)) bzw. p(r,phi,z):=(r*cos(phi), r*sin(phi), z) (Polar- bzw. Zylinderkoordinaten) Bestimmen sie dp sowie rang dp. Geben Sie jeweils maximale offene Intervalle I1,I2,I3 an, so daß p:I1xI2xI3->R^3 injektiv ist mit offenem Bild und diffbarer Umkehrabbildung. Beschreiben Sie für ihre Wahl von I1,...,I3 das Bild von p und die Menge R^3 \ p(I1xI2xI3). Überprüfen Sie, ob bei einer Vergrößerung eines der Intervalle die Injektivität verloren geht. Beschreiben sie (gegebenenfalls graphisch) die Koordinatenlinien der jeweiligen Koordinatensysteme, d.h. die Kurven r->p(r,phi,teta), phi->p(r,phi,teta), usw. |
Dominikus Heinzeller (Rincewind)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 21:56: |
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Hallo Julia, für Kugelkoordinaten ein paar Tips: dPhi (jaja, bei Tomi ist es gross Phi *g*) ist eine Matrix mit Spalte 1: d/dr Phi_x (erste Komponente nach r ableiten) d/dr Phi_y (zweite Komponente nach r ableiten) d/dr Phi_z (dritte Komponente nach r ableiten) Spalte 2 the same mit phi bzw. theta. Dann betrachte doch mal die Spalten- oder Zeilenvektoren. Deren Skalarprodukte sind jeweils null, d.h. sie stehen orthogonal aufeinander --> da V=R^3 ist dim(Bild(d Phi) = Rang(Phi) = 3. Intervallauswahl: Habe ich noch nicht so richtig sauber, aber: Du kennst ja die Intervalle aus der Physik - Ich habe die Überlegung mit phi (I2) begonnen: In der ersten Komponente hast Du cos(phi), in der zweiten sin(phi). cos(phi) ist z.B. injektiv auf [0;pi[, sin(phi) ist es aber auch auf [pi;2pi[ --> der Vektor (cos, sin, *) mit *=const. ist injektiv für phi aus [0;2pi[. (vgl. Polarkoordinaten im 2-dim.). Da I2 offen sein soll also I2=]0;2pi[. I3: Intervall ist immer zusammenhängendes Gebiet auf R. Idee - Falls theta=0 oder theta=pi ist sin(theta)=0. Damit kannst Du bei festem r für phi einsetzen was Du willst, es kommt immer derselbe Vektor raus --> Da sin 2pi-periodisch, passiert dieses Spiel in allen Intervallen ebenso --> I3= ]0;pi[ I1: Phi(r,phi,theta) ist lineare Funktion in r, also theoretisch injektiv auf R. Anschaulich ist es klar, daß r>=0 sein muß. Eigentlich genügt es, wegen der Kreislinie in x-y-Ebene für phi aus [0;2pi[ dies zu schlußfolgern. Da I1 offen folgt I1 = ]0;infty[ Vielleicht (wahrscheinlich) es auch einfacher. Beschreibung von Bild(phi) und R^3 ohne Bild(Phi): Wegen der offenen Intervalle ist die Kugel nicht ganz geschlossen und hat außerdem im Null- punkt ein (abgeschlossenes Loch; Fachsprache eher ein isolierter Punkt von R^3 ohne Bild(Phi) ;-) ). Das bei Vergrößerung der Intervalle Injektivität verloren geht, folgt schon aus obigen Überlegungen, man kann auch einfach Beispiele angeben? Beschreibung der Koordinatenlinien: s. Skript Mathematische Methoden II, S. 6/7. Downzuloaden unter http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~dheinzel/mm2/ |
p 3
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 22:25: |
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Das Differential ist die 3x3-Matrix, in deren ersten Zeile die erste Komponente von p nach r, phi, theta partiell abgeleitet ist usw. Also für p2: dp2 = cos(phi) | -rsin(phi) | 0 | sin(phi) | rcos(phi) | 0 | 0 | 0 | 1 | Beide Matrizen besitzen Vollrang, denn ihre Determinanten sind für r,phi ungleich 0 ebenfalls ungleich 0. Die Intervalle für p: I1=(0,¥), I2=(0,2Pi), I3=(0,Pi), wobei () offene Intervalle sind. Für p2: I1=(0,¥), I2=(0,2Pi), I3=IR. Für I1 geht die Inj. bei Vergrößerung verloren, da r=0 enthalten ist, denn p(0,phi1,theta1)=p(0,phi2,theta2) für beliebige Winkel aus obigen Intervallen I2, I3. I2 kann man halboffen machen: [0,2Pi) oder (0,2Pi]. I3 kann zu [0,Pi] abgeschlossen werden, aber nicht weiter. Koordinatenlinien: in r-Richtung sind das radiale Halbgeraden vom Nullpunkt aus (ohne 0 natürlich). In phi-Richtung sind es Breitenkreise auf einer Kugel mit Radius r, in theta-Richung Längenkreise. |
Dominikus Heinzeller (Rincewind)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 22:34: |
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Nachtrag zu Kugelkoordinaten: Es geht auch einfacher! Und zwar mit dem Satz von der lokalen Umkehrbarkeit: Phi|I1xI2xI3 umkehrbar, falls dPhi auf I1xI2xI3 bijektiv, d.h. det ungleich 0. Nächstes mal suche ich gleich im Skript *g* Damit mußt Du die Intervalle nicht einfach angeben, sondern kannst z.B. direkt an dPhi ablesen, daß für theta = 0 bzw. 2*pi eine Nullspalte entsteht --> det=0 usw. Damit hätten wir auch die Umkehrabbildung... |
Julia
| Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 14:17: |
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Tausenddank! Kommt etwas spät, kommt aber. Danke nochmal! |
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