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blue_shadow (B_S)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 19:16: |
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Hello Freunde, Aufgabe: Eulersche Gammafunktion: T(x) := integral von 0 bis unendlich ( EXP(-t)*t^(x-1) ) dt zu zeigen: T besitzt Ableitungen beliebiger Ordnung und es gilt : (n) T (x) = integral von 0 bis unendlich ( (log (t))^n * EXP(-t)*t^(x-1) )dt (..also n-te Ableitung von T ist damit gemeint. ....) Wie kommt man denn auf das vorgegebene Ergenbis? Vielen Dank, blue_shadow |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 23:09: |
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Hi blue shadow , Wir stellen zuerst die Grundlagen bereit, mit denen wir Deine Aufgabe bequem lösen können. 1. Wenn eine Funktion f = f(x , p) ausser von der Variablen x noch von einem Parameter p abhängig ist , so ist das bestimmte Integral ( Grenzen a bis b ) int [f(x , p) * dx] eine Funktion F = F(p) des Parameters p. Zur Ermittlung der Ableitung F ' (p) darf man unter dem Integral ableiten, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind. Diese Bedingungen lauten: f (x,p) muss für alle Wertepaare a < = x < = b und c < = p < = d stetig sein und für diese Paare muss ausserdem die partielle Ableitung von f (x , p) nach p existieren und stetig sein Der Satz lässt sich (cum grano salis) auch auf uneigentliche Integrale ausdehnen. 2. Die Ableitung der Exponentialfunktion t ^ x nach x lautet: t ^ x * ln t. Wir wenden das Gesagte auf die Gammafunktion G(x) an: (untere Grenze der Integrale je 0, obere Grenze je unendlich) G(x) = int [e^(-t) * t ^ (x-1) * dx ] , ableiten nach x führt auf : G ' (x) = int [e^(-t) * t ^ (x-1) * ln t * dt ]. Für die höheren Ableitungen ergeben sich keine Probleme. Du findest leicht das Schlussresultat selbst. Und zum Schluss noch dies: Vor kurzem haben wir im Board die Digammafunktion Psi(z) kennengelernt bei der Berechnung eines "fürchterlichen" Integrals. Diese Funktion ist so definiert: Psi(z) = G ' (z) / G (z) Mit Maple berechneten wir Psi(1 ) = - g ( g : Eulersche Konstante gamma ) Wenn wir g als Integral darstellen in der Gestalt: g = - int [ e^(-t )* ln t * dt ], so kommt Psi(1) = G '(1) / G (1) = - g , da G(1) bekanntlich 1 ist. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
blue_shadow (B_S)
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 09:24: |
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Vielen Dank H.R. Moser,megamath :-) Gruss, blue_shadow |
Xell
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 20:46: |
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Ganz am Rande, megamath., Grüße schreibt man mit scharfem S. "Außerhalb" genauso, "außer" auch. Siehe www.duden.de. Viele Grüße |
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