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Markus Pöstinger (Sinister)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 13:07: |
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Ich muß für das elliptische Integral K(k) = ò0 p/2 dx / sqrt(1-(k2*(sin2x)) , k2 < 1 eine Lösung in Form einer Potenzreihe angeben. Der Ansatz ist, daß man doch auf K(k) = Sinf n=0cnkn kommen muß. Und da die Formel für die Binomialreihe (1+x)a = Sinf k=0(a über k)*xk ist, ist doch (1-k2*sin2x)1/2 = Sinf n=0(-1/2 über n)*(-k2*sin2x)n Wie komme ich aber von da an weiter? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 16:24: |
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Hi Markus, Ich leite Dir für das elliptische Integral erster Gattung F(k, phi) eine Reihenentwicklung her. Wir fangen vorne an.: Man erhält F(k, phi) , indem man im Integral J = int [ dx / wurzel {(1 - x^ 2) * (1- k^2 * x^2 )} ] untere Grenze 0, obere Grenze x die Substitution x = sin (phi) , dx = cos (phi)* d(phi) ausführt. Durch die angegebene Substitution wird J zu F(k, phi). Wir erhalten: F(k,phi) = int [d(phi) / wurzel { 1- k^2 * (sin(phi))^2 }] untere Grenze 0 ,obere Grenze phi; k heisst Modul und es gilt k^2 < 1. Entwickelt man nun den Integranden nach Potenzen von k^2 * {sin(phi)} ^ 2, so erhält man: [1- k^2 * { (sin (phi) }^ 2] ^ (- ½ ) = 1+ ½ * k ^2 * {sin(phi)}^2 + [(1*3) / (2*4)] *k^4* {sin(phi)}^ 4 + + (1*3*5) / (2*4*6) * k ^6 * {sin(phi)}^ 6+.....................................(I) Man darf in den genannten Grenzen gliedweise integrieren (wir wählen im folgenden als obere Grenze ½ * Pi, die untere ist nach wie vor 0; das entsprechende Integral wird mit F(k,1/2 Pi ) bezeichnet. Die Integrale lassen sich alle mit Hilfe von Rekursionsformeln berechnen. Die betreffenden Werte sind früher in diesem Forum behandelt worden und lauten (Integrationsgrenzen null , ½ Pi): int [{sin(phi)} ^ (2m)} * d(phi) ] = (2m - 1) / (2m) * int [ {sin(phi) }^(2m-2) * d(phi)] = = [(2m-1)*(2m-3) *.......*1] / [(2m)*(2m-2)*.........*2] * ½ Pi Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 18:27: |
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Hi Markus, Alles nötige ist vorbereitet, um die Entwicklung des sogenannten vollständigen elliptischen Integrals erster Gattung in eine unendliche Reihe anzuschreiben: F(k, ½ Pi) = K = = ½ * Pi * { 1 + (1/2)^2 * k^2 + [(1*3)/(2*4)] ^2 * k ^ 4 + [(1*3*5) / (2*4*6)] ^2 * k ^ 6 +.. ad infinitum} Anmerkungen 1) Analog kann man das elliptische Integral zweiter Gattung bearbeiten und E(k, ½ Pi)in eine Reihe entwickeln. Dazu bist Du nun jetzt sicher in der Lage ! 2) Beim elliptischen Integral zweiter Gattung steht die Anwendung auf die Berechnung der Längen von Ellipsenbögen im Vordergrund. Auf elliptische Integrale erster Gattung stossen wir bei der Berechnung der Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels der Länge L (Erdbeschleunigung g). Wir erhalten die Reihenentwicklung T = 2 * Pi* wurzel (L/g) * [1 + (1/2)^2 * k^2 + ((1*3)/(2*4))^2 * k^4 +... mit k = sin( alpha /2), wobei alpha den Amplitudenwinkel darstellt, d.h. den grössten Wert des Auslenkungswinkels bei der Schwingung des Pendels. Das soll vorläufig genügen. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
Markus Pöstinger (Sinister)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 19:26: |
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Ja, vielen Dank, das hat mir sehr geholfen, aber eine Frage noch: > Man darf in den genannten Grenzen gliedweise > integrieren. Warum darf man dies eigentlich? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 20:50: |
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Hi Markus, In Beantwortung Deiner Frage folgendes a) in grauer Vorzeit habe ich in diesem Forum die binomische Entwicklung für die Wurzel f(x) = wurzel(1+x) hergeleitet. Du findest die Arbeit im Archiv unter dem Stichwort " (1*3*5) /(2*4*6) " Es wird Dir nicht schwer fallen , 1 / wurzel (1+ x ) selbständig zu entwickeln Die Sache mit der Rekursionsformel für (sin x ) ^ (2m ) ist auch irgendwo im Archiv zu finden. Wenn nicht , schau in der Literatur nach.. b) Es gilt der Satz. Ist r > 0 der Konvergenzradius einer Potenzreihe in x und ist die Reihe (bedingt oder unbedingt) konvergent für x = r, so ist sie für 0 < = x < = r gleichmässig konvergent. Die in Frage stehenden binomischen Reihen erfüllen diese Bedingung; mit anderen Worten: Die Reihen sind gleichmässig konvergent und zwar für -1 < = x < = +1. c)Wenn eine Reihe gleichmässig konvergiert, so darf die Reihe gliedweise integriert werden. Für Beweise zu b ) und c ) muss ich auf die einschlägige Literatur verweisen. Mit freundlichen Grüssen. H.R.Moser,megamath. |
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