| Autor |
Beitrag |
    
anja
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 10:50: | 
|
1. Gegeben seien die Vektoren
a= (1/wurzel 2)(1 0 1)° und
b= (1/wurzel 3)(1 1 1)°,
(° bedeutet tranponiert).
Man bestimme eine orthogonale Matrix
A element O(R^3) mit b = Aa !
(O ist die orthogonale Gruppe)
2. Im R^3 sei W der Wuerfel mit den Ecken
(+-1,+-1,+-1). Man gebe eine orthogonale Abb. g an, die W in sich ueberfuehrt und die Ordnung 6 hat, d.h. g^6 = g^i, (0<=i<=5). Von welchem Typ ist g (Drehung´,Spiegelung oder Drehspiegelung)?
Wie gehe ich solche Aufgaben an? Hat jemand einen Hinweis?
Anja |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 17:20: |
|
Hallo :
Hier ein paar Hinweise :
1. Gesucht ist die Matrix A einer Drehung, welche
a in b ŸberfŸhrt. Der Drehwinkel phi ist
durch cos(phi) = a.b = sqrt(2/3) , sin(phi) =
sqrt(1/3) bestimmt, die Drehachse u ist sekrecht
zu a und b, also = sqrt(1/2)(-1,0,1)^t.
Die Drehung um phi mit Achse z.B. e_1 = (1,0,0)
hat die Matrix (lies zeilenweise)
D=([1,0,0],[0,cos(phi),-sin(phi)],[0,sin(phi),
cos(phi)]).
P sei eine orthogonale Matrix, welche e_1 in u
ŸberfŸhrt. Dann ist A = P^(-1) D P (zu gut
deutsch: fŸhre erst u in e_1 Ÿber, drehe dann
um e_1, fŸhre schliesslich e_1 wieder in u Ÿber).
2. Betrachte die Ebene E durch O senkrecht zur
Raumdiagonalen z.B. durch (-1,-1,-1) und (1,1,1).
E hat die Gleichung x+y+z=0. E schneidet genau 6
der 12 WŸrfelkanten, und zwar in den Ecken eines regulaeren 6-Ecks (leicht auszurechnen). g ist also die Drehung um die Achse u = (1,1,1)^t mit dem Drehwinkel phi = Pi/3. Die Aufgabe ist damit auf die vorige zurŸckgefŸhrt.
Have fun
Hans |
|
