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Robert (Treborius)
| Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 14:04: |
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Hallo alle zusammen, Es sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes X und f:A->A eine Abbildung. Es gebe eine Konstante k mit 0<=k<1, so dass ||f(x),f(y)|| <= k*||x,y|| für alle x,y el.A Zeigen Sie: -Es gibt genau ein a el.A mit f(a)=a. -Für jedes x0 el.A konvergiert die durch x(n+1) := f(xn), n el.IN definierte Folge gegen a. Ich wäre sehr froh, wenn mir hierbei jemand helfen könnte. Treborius. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 15:59: |
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Hallo : 1. Ann.: Es gibt 2 verschiedene Fixpunkte a,b : Dann ist 0 < ||a-b|| = ||f(a)-f(b)||=<k||a-b||< ||a-b||, Widerspruch! 2. Die Folge (x(n)) sei wie oben definiert. Man zeigt leicht induktiv: ||x(n+k)-x(n+k-1)|| =< k^(n+k-1)*||x(1)-x(0)||. Daher ist fŸr beliebige n,m (Dreiecksungleichung !): ||x(n+m)-x(n)||=<||x(n+m)-x(n+m-1)||+... +||x(n+1)-x(n)|| =< (k^(n+m-1)+...+k^n)||x(1)-x(0)|| = k^n*(1-k^m)/(1-k)*||x(1)-x(0)||. Dies strebt bei beliebigem m mit n->oo nach 0. Die Folge (x(n)) ist also eine Cauchyfolge, wegen der Vollstaendigkeit von X also konvergent. Der Grenzwert sei a. Dann ist f(a) = a. Gruss Hans |
Robert (Treborius)
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 13:46: |
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Hallo Hans, ich bin mir noch nicht ganz sicher ob ich alles verstanden habe, aber sieht gut aus. Vielen Dank erst einmal. Treborius. |
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